Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 25N2​ = 30

15 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 25; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 30. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite sukimo momentą T1 variklio velene.

P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 30η = 97%
T1 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 18B = 60C = 18D = 72

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.

nin = 2900 rpmA = 18B = 60C = 18D = 72
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = 40 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 200 N·mABC3 m1 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 3 m atstumu nuo A, veikia 1500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.

d = 40 mmTB = 1500 N·mTC = 200 N·mAB = 3 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 50σy​ = −70τxy​ = −10MPa

Taške σₓ = 50 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 50 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​τxy​viršutinis veleno paviršius

Pilnaviduris 60 mm skersmens velenas perduoda 300 N·m lenkimo momentą kartu su 2000 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

d = 60 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 12 mmŽalvaris2,5 mP = 75 kN

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 75 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 35 mmVaris0,5 mØ 20 mmPlienas2 mP = 70 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 70 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 m40 × 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 45 kNL = 2 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 45 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 20 kN/mζ = 0,35m = 5 kg

5 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 20 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 5 kgk = 20 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 100k2​ = 15m = 20 kg

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T1 = 149,2 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Atsakymas

T1 = 149,2 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nout = 217,5 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

nB = 2900·18/60 = 870 rpm = nC

Antroji pakopa

nout = 870·18/72 = 217,5 rpm

Atsakymas

nout = 217,5 rpm

bendras perdavimo skaičius = 13,33 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 6,412 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad
φ = 0,1119·180/π = 6,412°

Atsakymas

φ = 6,412°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: τmax = 103,5 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Vidiniai sukimo momentai

TC kryptis laikoma teigiama.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 1500 = −1300 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|max = 1300 N·m
τmax = 16·1,3 × 10⁶/(π·40³) = 103,5 MPa

Atsakymas

τmax = 103,5 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = −49,73 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = −10/60,83 = −0,1644, sin 2θs = −60/60,83 = −0,9864
2θs = atan2(−60, −10) = −99,46°

Kampas elemente

θs = −49,73°
patikra: θs − θp = −49,73 − (−4,731) = −45°

Atsakymas

θs = −49,73°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 47,68 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14,15 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa
στxyCτmax​

Moro apskritimas

C = σ/2 = 7,074 MPa
R = √(7,074² + 47,16²) = 47,68 MPa

Atsakymas

τmax = 47,68 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 16,58 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/100000 = 0,006631 = 6631 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,006631·2500 mm = 16,58 mm

Atsakymas

δ = 16,58 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 222,8 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 222,8 MPa

Atsakymas

σmax = 222,8 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 2,211 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/10000² = 2211 N = 2,211 kN

Atsakymas

Pcr = 2,211 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 57,08 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 57,08 mm

Atsakymas

d = 57,08 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 140,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 9,429 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(20000/5) = 63,25 rad/s
fn = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,35²) = 9,429 Hz

Atsakymas

fd = 9,429 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 4,064 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/100 + 1/15 → keq = 100·15/(100 + 15) = 13,04 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(13043/20) = 25,54 rad/s
fn = 25,54/(2π) = 4,064 Hz

Atsakymas

fn = 4,064 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design