Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 16; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 30. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 0,75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 30η = 95%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 800 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 10 mm, sukamas 20 N·m sukimo momentu. Abu 200 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 5,99° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,99°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 20 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,5 m atstumu nuo A, veikia 500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 100 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 20 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 275 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 105 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 40 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 2,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 2,3 mmn = 3

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 60 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 2,47 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m

Atsakymas

T₁ = 2,47 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 158,4 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,1875) = 10,81°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·10,81 = 158,4°

Atsakymas

θ = 158,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 38,97 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,99·π/180 = 0,1045 rad

Šlyties modulis

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981,7·0,1045) = 38972 MPa

G = 38,97 GPa

Atsakymas

G = 38,97 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 4,676 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −400000·500/(39000·15708) = −0,3265 rad

φ_BC = 100000·2500/(39000·15708) = 0,4081 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = −0,3265 + 0,4081 = 0,08162 rad → |φ_C| = 4,676°

Atsakymas

φ_C = 4,676°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −6,264 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−20, 150 − −30) = −12,53°

Kampas elemente

θ_p = −6,264°

Atsakymas

θ_p = −6,264°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 1,464

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 35 MPa, R = 93,94 MPa

σ₁ = 128,9 MPa, σ₂ = −58,94 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 187,9 MPa

n = 275/187,9 = 1,464

Atsakymas

n = 1,464

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 2313 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/117000 = 0,002313 = 2313 µε

Atsakymas

ε = 2313 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 16,83 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148,5·1500/117000 = 1,904 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·2000/70000 = 14,92 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 16,83 mm

Atsakymas

δ = 16,83 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 27,47 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27,47 kN

Atsakymas

P_cr = 27,47 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 7,676 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Atsakymas

σ_cr = 7,676 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1498

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(40/2,3) = 0,952

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,952/√(39,48 + 0,9063) = 0,1498

Atsakymas

ζ = 0,1498

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 9,003 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 60 = 80 kN/m

k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(16000/5) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Atsakymas

f_n = 9,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design