Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1450 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1000 N, laisvosios – 250 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 500 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 200 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 1,2 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 0,8 m. Laisvajame gale C veikia 750 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 1800 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 40 MPa ir σᵧ = 90 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 110 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 100 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 50 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 50 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 10 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 90 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 90 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 1,2 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 1,2 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 7,118 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 9,49 m/s

Galia

P = (1000 − 250)·9,49 = 7118 W = 7,118 kW

Atsakymas

P = 7,118 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 151 °

Diržo kampas

asin(0,25) = 14,48°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·14,48 = 151°

Atsakymas

θ = 151°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 18,19 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02721 rad

φ_BC = 750000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,02721 + 0,2902 = 0,3174 rad = 18,19°

Atsakymas

φ_C = 18,19°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 12,17 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·75)) = 12,17 mm

Atsakymas

d = 12,17 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 37,42 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (40 + 90)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 65 = 45 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37,42 MPa

Atsakymas

τ_xy = 37,42 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −25,54 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −75 + −5·0,5 + 60·0,866 = −25,54 MPa

Atsakymas

σ_θ = −25,54 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,02329 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 50000·300/6,44 × 10⁸ = 0,02329 mm

Atsakymas

δ = 0,02329 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 49,74 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 49,74 MPa

Atsakymas

σ_max = 49,74 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 19,62 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Atsakymas

P_cr = 19,62 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 82,55 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82,55 mm

Atsakymas

d = 82,55 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 242,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1199

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(25/1,2) = 0,7591

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7591/√(39,48 + 0,5763) = 0,1199

Atsakymas

ζ = 0,1199

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 7,5 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/15 → k_eq = 15·15/(15 + 15) = 7,5 kN/m

Atsakymas

k_eq = 7,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design