Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 25N2​ = 36

4 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 25; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 36. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 4 kWn1 = 1500 rpmN1 = 25N2 = 36η = 100%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 36B = 80C = 15D = 80

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (36 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.

nin = 1450 rpmA = 36B = 80C = 15D = 80
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = 40 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1,2 mb = 2 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 40 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,2 m atstumu nuo A ir 2 m atstumu nuo B, pridėtas 1500 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą TA sienoje A.

d = 40 mmT0 = 1500 N·ma = 1,2 mb = 2 m
TA = N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 100σy​ = −10τxy​ = 50MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

σx = 100 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 130σy​ = 0τxy​ = 40MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 25° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 130 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 20 mmVaris1,5 mP = 35 kN

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 35 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 35 mmPlienas1 mØ 12 mmPlienas0,5 mP = 55 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 55 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 120 kNL = 6 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 120 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 120 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
tx12 mm1 ciklas10,6 mm

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 12 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 10,6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x0 = 12 mmx1 = 10,6 mmn = 1
ζ =
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 40k2​ = 80m = 10 kg

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 40 kN/m, apatinės k₂ = 80 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą keq kN/m.

m = 10 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 36,67 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/157,1 = 25,46 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 25,46·36/25·1 = 36,67 N·m

Atsakymas

T2 = 36,67 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nout = 122,3 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

nB = 1450·36/80 = 652,5 rpm = nC

Antroji pakopa

nout = 652,5·15/80 = 122,3 rpm

Atsakymas

nout = 122,3 rpm

bendras perdavimo skaičius = 11,85 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,871 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·251327) = 0,03265 rad
φ = 0,03265·180/π = 1,871°

Atsakymas

φ = 1,871°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: TA = 937,5 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·2/3,2 = 937,5 N·m
TB = 1500·1,2/3,2 = 562,5 N·m

Atsakymas

TA = 937,5 N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 74,33 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Moro apskritimo spindulys

τmax = R = √(((100 − −10)/2)² + 50²) = 74,33 MPa

Atsakymas

τmax = 74,33 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 137,4 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 65 + 65·0,6428 + 40·0,766 = 137,4 MPa

Atsakymas

σθ = 137,4 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,428 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/117000 = 0,0009522 = 952,2 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0009522·1500 mm = 1,428 mm

Atsakymas

δ = 1,428 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,502 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ1 = σ1L1/E1 = 57,17·1000/200000 = 0,2858 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486,3·500/200000 = 1,216 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,502 mm

Atsakymas

δ = 1,502 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 15,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Atsakymas

Pcr = 15,5 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 97,17 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 97,17 mm

Atsakymas

d = 97,17 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 247, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,01974

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(12/10,6) = 0,1241

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1241/√(39,48 + 0,01539) = 0,01974

Atsakymas

ζ = 0,01974
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: keq = 26,67 kN/m

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/40 + 1/80 → keq = 40·80/(40 + 80) = 26,67 kN/m

Atsakymas

keq = 26,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design