Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

5,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 18. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 5,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 100%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (48 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 48C = 12D = 60

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 2,5 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 500 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 2°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1 m atstumu nuo A, veikia 400 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

50 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 25 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 340 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 50 kgk = 25 kN/mc = 340 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 40 kN/m ir k₂ = 50 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 82,06 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 54,71·18/12·1 = 82,06 N·m

Atsakymas

T₂ = 82,06 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 112,5 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·18/48 = 562,5 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 562,5·12/60 = 112,5 rpm

Atsakymas

n_out = 112,5 rpm

bendras perdavimo skaičius = 13,33 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 55,3 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0,03491) = 918202 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 55,3 mm

Atsakymas

d = 55,3 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 17,68 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 400 = 1150 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,15 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,1173 rad

φ_BC = 750000·2500/(39000·251327) = 0,1913 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,1173 + 0,1913 = 0,3086 rad → |φ_C| = 17,68°

Atsakymas

φ_C = 17,68°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 74,33 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((80 − −30)/2)² + 50²) = 74,33 MPa

Atsakymas

τ_max = 74,33 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 117,3 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 95 + 15·0,1736 + 20·0,9848 = 117,3 MPa

Atsakymas

σ_θ = 117,3 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 34,39 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/8,724 × 10⁻⁶ = 34388 N = 34,39 kN

Atsakymas

P = 34,39 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 47,38 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·169646/405265 = 33488 N

Įtempis

σ₂ = 33488/706,9 = 47,38 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 47,38 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,089 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/4200² = 2089 N = 2,089 kN

Atsakymas

P_cr = 2,089 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 69,09 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Atsakymas

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1521

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·50) = 2236 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 340/2236 = 0,1521

Atsakymas

ζ = 0,1521

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 90 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 50 = 90 kN/m

Atsakymas

k_eq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design