Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 100 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 150 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 150 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 500 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,5, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 300 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 280 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,414 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 4,712 m/s

Galia

P = (400 − 100)·4,712 = 1414 W = 1,414 kW

Atsakymas

P = 1,414 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 146,1 °

Diržo kampas

asin(0,2917) = 16,96°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·16,96 = 146,1°

Atsakymas

θ = 146,1°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 40,8 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·40·0,9375)) = 40,8 mm

d_i = 0,5·40,8 = 20,4 mm

Atsakymas

d_o = 40,8 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,93 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 54,53 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·75)) = 54,53 mm

Atsakymas

d = 54,53 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 73,15 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·10, −20 − 10) = 146,3°

Kampas elemente

θ_p = 73,15°

Atsakymas

θ_p = 73,15°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −70 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −60 + −10·0 + 10·−1 = −70 MPa

Atsakymas

σ_θ = −70 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 954,9 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Atsakymas

ε = 954,9 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 6,511 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·314159/1,152 × 10⁶ = 8182 N

Įtempis

σ₂ = 8182/1257 = 6,511 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 6,511 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 313,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Atsakymas

P_cr = 313,9 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 79,31 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7,5 = 93,33

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Atsakymas

σ_cr = 79,31 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,198

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 280/1414 = 0,198

Atsakymas

ζ = 0,198

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 2,5 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2,5 kN/m

Atsakymas

k_eq = 2,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design