Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

4 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 16 dantų, kurio modulis 3 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (36 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (50 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 36B = 50C = 25D = 32

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 2 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 400 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 400 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 5 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 60 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 80 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 180 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 40 kgk = 80 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 1105 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·26,53/0,048 = 1105 N

Atsakymas

F_t = 1105 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1631 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·36/50 = 2088 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 2088·25/32 = 1631 rpm

Atsakymas

n_out = 1631 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,778 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 65,1 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(26000·0,01745) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 65,1 mm

Atsakymas

d = 65,1 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 46,72 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 46,72 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(22,11, 46,72) = 46,72 mm

Atsakymas

d = 46,72 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −20,59 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 40/53,15 = 0,7526, sin 2θ_s = −35/53,15 = −0,6585

2θ_s = atan2(−35, 40) = −41,19°

Kampas elemente

θ_s = −20,59°

patikra: θ_s − θ_p = −20,59 − 24,41 = −45°

Atsakymas

θ_s = −20,59°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 48,66 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 30 + −20·−0,5 + 10·0,866 = 48,66 MPa

Atsakymas

σ_θ = 48,66 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 994,7 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/100000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Atsakymas

ε = 994,7 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 27,61 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 60000·981748/1,086 × 10⁶ = 54217 N

Įtempis

σ₂ = 54217/1963 = 27,61 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 27,61 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 177,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177,2 kN

Atsakymas

P_cr = 177,2 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,05031

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·40) = 3578 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 180/3578 = 0,05031

Atsakymas

ζ = 0,05031

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,779 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2,5 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(2500/20) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Atsakymas

f_n = 1,779 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design