Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 10 kW esant 750 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 10 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 40 kN ties 3 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 35 MPa tempiant ir 90 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 180 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 2000 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmF = −180 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 7,626 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1017/200000 = 0,005084 = 5084 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,005084·1500 mm = 7,626 mm

Atsakymas

δ = 7,626 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 20,46 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·376991/586431 = 25714 N

Įtempis

σ₂ = 25714/1257 = 20,46 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 20,46 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,232 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·613592) = 0,05641 rad

φ = 0,05641·180/π = 3,232°

Atsakymas

φ = 3,232°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 26,51 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·40·0,8704)) = 26,51 mm

d_i = 0,6·26,51 = 15,9 mm

Atsakymas

d_o = 26,51 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 25,31 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 113,8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 50·3,5 − 10·3,5·1,75 = 113,8 kN·m

Atsakymas

M_x = 113,8 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 39 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 6·4·2

R_B = 168/4 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 42 = 22 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 22·3 − 6·3·1,5 = 39 kN·m

Atsakymas

M_x = 39 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 45,66 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

sienelė: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·270 + 2600·130)/6600 = 214,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·20³/12 + 4000·(270 − 214,8)² = 1,23 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·260³/12 + 2600·(130 − 214,8)² = 3,336 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,23 × 10⁷ + 3,336 × 10⁷ = 4,566 × 10⁷ mm⁴ = 45,66 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 45,66 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 5,201 kN·m

Svorio centras

ȳ = (6600·155 + 2800·70)/9400 = 129,7 mm

viršutinė kraštinė: c = 170 − 129,7 = 40,32 mm

Inercijos momentas

I = 220·30³/12 + 6600·25,32² + 20·140³/12 + 2800·59,68² = 1,927 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 90·1,927 × 10⁷/40,32 = 43,02 kN·m

apatinė kraštinė: M = 35·1,927 × 10⁷/129,7 = 5,201 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 5,201 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 5,201 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 53,15 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−30 − 40)/2)² + −40²) = 53,15 MPa

Atsakymas

τ_max = 53,15 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 270,8 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −180000/(π·30²/4) = −180000/706,9 = −254,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −127,3 MPa

R = √((−127,3)² + 377,3²) = 398,2 MPa

σ₁ = C + R = 270,8 MPa

σ₂ = C − R = −525,5 MPa

Atsakymas

σ₁ = 270,8 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 2,751 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,751 mm

Atsakymas

δ_max = 2,751 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·11000·11,11) = 4,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 73,43 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/700² = 73435 N = 73,43 kN

Atsakymas

P_cr = 73,43 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 38,86 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Atsakymas

σ_cr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials