Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 30 mmPlienas2 mP = 50 kN

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 50 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 40 mmPlienas2 mØ 16 mmŽalvaris1 mP = 45 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 45 kN1 ruožas: Ø40 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
do​ = ?T = 250 N·m

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 250 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

T = 250 N·mdi/do = 0,8τallow = 80 MPa
do = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = 30 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 250 N·mABC0,8 m2 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,8 m atstumu nuo A, veikia 400 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φC laipsniais.

d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 0,8 mBC = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
60 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 4 m35 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
12 kN/m35 kN35 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m35 kN @ 12 m45 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
xD = 220d = 208matmenys mm

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 220 mm, vidinis skersmuo d = 208 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 220 mmd = 208 mm
r = mm
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
2104601610xM = 200 kN·mmatmenys mm

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 210 mm pločio ir 16 mm storio, bendrasis aukštis 460 mm, o sienelės storis 10 mm. Jį veikia 200 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σj sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.

B = 210 mmH = 460 mmtf = 16 mmtw = 10 mmM = 200 kN·m
σj = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 20σy​ = 90τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

σx = 20 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 100σy​ = 120τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 25° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 100 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
τθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 4 kN/mδL = 3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 6 kN/mδL = 4 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą Ireq, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,7074 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 50·1000/706,9 = 70,74 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 70,74/200000 = 0,0003537 = 353,7 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0003537·2000 mm = 0,7074 mm

Atsakymas

δ = 0,7074 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 223,8 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 223,8 MPa

Atsakymas

σmax = 223,8 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 29,98 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,5904)) = 29,98 mm
di = 0,8·29,98 = 23,99 mm

Atsakymas

do = 29,98 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 25,15 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φC = 9,186 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Vidiniai sukimo momentai

TC kryptis laikoma teigiama.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 400 = 650 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 650000·800/(80000·79522) = 0,08174 rad
φBC = 250000·2000/(80000·79522) = 0,0786 rad

Galo C sukimo kampas

φC = 0,08174 + 0,0786 = 0,1603 rad → |φC| = 9,186°

Atsakymas

φC = 9,186°
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 45,83 kN, R2 = 49,17 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 91,67, MC = 183,3 kN·m, MD = 155, ME = 126,7, MF = 98,33, MG = 0

Atsakymas

Žymė C: MC = 183,3 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 89,33 kN, R2 = 97,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −70, MC = 14,67, MD = −38,67, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = −140 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 75,69 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = Ic + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 4034 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,311 × 10⁷ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(2,311 × 10⁷/4034) = 75,69 mm

Atsakymas

r = 75,69 mm
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σj = 107,9 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.

hw = 460 − 2·16 = 428 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·460³ − 200·428³)/12
Ix = 3,967 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 230 − 16 = 214 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·214/3,967 × 10⁸ = 107,9 MPa

Atsakymas

σj = 107,9 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 40,31 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Moro apskritimo spindulys

τmax = R = √(((20 − 90)/2)² + −20²) = 40,31 MPa

Atsakymas

τmax = 40,31 MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = −5,195 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −−10·0,766 + −20·0,6428 = −5,195 MPa

Atsakymas

τθ = −5,195 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 1,266 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,266 mm

Atsakymas

δ = 1,266 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·4000⁴/(384·200000·11,11) = 9 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 52,99 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Atsakymas

Pcr = 52,99 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 35,25 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Atsakymas

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials