Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 150 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 100 N·m sukimo momentu. Abu 200 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 8,87° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 100 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 8,87°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 10 kW esant 1450 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 2,5 mP = 15 kN ties 1 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 2,5 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 10 kN ties 4 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 100 mm pločio ir 12 mm storio, bendrasis aukštis 480 mm, o sienelės storis 14 mm. Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 100 mmH = 480 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 200 × 24 mm, sienelė 400 mm aukščio ir 16 mm storio, o apatinė lentyna 150 × 24 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 200 × 24 mmsienelė: 16 × 400 mmapatinė lentyna: 150 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 20 MPa ir σᵧ = 0 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 55 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 50 mm skersmens velenas perduoda 160 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 250 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 50 mmF = 160 kNT = 250 N·m

τ_max = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 20 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 21 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2152 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·3063 = 5,576 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·800/5,576 × 10⁸ = 0,2152 mm

Atsakymas

δ = 0,2152 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 519 kN

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00075, 0,001) = 0,00075 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,00075·6,919 × 10⁸ = 518952 N = 519 kN

Atsakymas

P_max = 519 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 25,99 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 8,87·π/180 = 0,1548 rad

Šlyties modulis

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(4970·0,1548) = 25993 MPa

G = 25,99 GPa

Atsakymas

G = 25,99 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 16,48 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·75)) = 16,48 mm

Atsakymas

d = 16,48 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −27,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −15·1 = −15 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_A = −15 − 12,5 = −27,5 kN·m

Atsakymas

M_A = −27,5 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4 + 5·5·2,5

R_B = 102,5/5 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,5 = 14,5 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 14,5·4 − 5·4·2 = 18 kN·m

Atsakymas

M_x = 18 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 242,1 × 10⁶ mm⁴

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 480 − 2·12 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·480³ − 86·456³)/12

I_x = 2,421 × 10⁸ mm⁴ = 242,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 242,1 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 458,9 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 4800 mm², y = 436 mm

sienelė: A = 6400 mm², y = 224 mm

apatinė lentyna: A = 3600 mm², y = 12 mm

Svorio centras

ȳ = (4800·436 + 6400·224 + 3600·12)/14800 = 241,2 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 200·24³/12 + 4800·194,8² = 1,824 × 10⁸ mm⁴

sienelė: 16·400³/12 + 6400·17,19² = 8,722 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 150·24³/12 + 3600·229,2² = 1,893 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,824 × 10⁸ + 8,722 × 10⁷ + 1,893 × 10⁸

I_x = 4,589 × 10⁸ mm⁴ = 458,9 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 458,9 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 43,87 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (20 + 0)/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 55 − 10 = 45 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Atsakymas

τ_xy = 43,87 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 42 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 160000/(π·50²/4) = 160000/1963 = 81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 40,74 MPa

R = √(40,74² + 10,19²) = 42 MPa

Atsakymas

τ_max = 42 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 26,04 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·5000²·3000²/(3·7,2 × 10¹²·8000) = 26,04 mm

Atsakymas

δ_P = 26,04 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 11,23 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11,23 mm

Atsakymas

δ_max = 11,23 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 131,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131,6 kN

Atsakymas

P_cr = 131,6 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 75,81 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,81 mm

Atsakymas

d = 75,81 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 105,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials