Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 75 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 25 mm, ilgis 2 m; ruožo BC skersmuo 20 mm, ilgis 0,8 m. Laisvajame gale C veikia 250 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 250 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 2 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1 m atstumu nuo A, veikia 2000 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mP₁ = 20 kN ties 2 mP₂ = 40 kN ties 6 m

M_max = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mP = 10 kN ties 3 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 100 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 80 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 8 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 100 mmh = 80 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 420 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 30 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,5968 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/200000 = 0,001194 = 1194 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001194·500 mm = 0,5968 mm

Atsakymas

δ = 0,5968 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 573,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005·1,147 × 10⁹ = 573341 N = 573,3 kN

Atsakymas

P_max = 573,3 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 18,46 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·2000/(80000·38350) = 0,163 rad

φ_BC = 250000·800/(80000·15708) = 0,1592 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,163 + 0,1592 = 0,3221 rad = 18,46°

Atsakymas

φ_C = 18,46°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 3,325 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 2000 = 2400 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2,4 × 10⁶·1000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,04837 rad

φ_BC = 400000·1200/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,009673 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,04837 + 0,009673 = 0,05804 rad → |φ_C| = 3,325°

Atsakymas

φ_C = 3,325°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 112 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 40·6

R_B = 280/10 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 28 = 32 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P₁: M = R_A·2 = 32·2 = 64 kN·m

po P₂: M = R_B·4 = 28·4 = 112 kN·m

Didžiausia reikšmė

M_max = 112 kN·m (po P₂)

Atsakymas

M_max = 112 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 15,63 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3 + 5·4·2

R_B = 70/4 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 17,5 = 12,5 kN

Kur V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12,5/5 = 2,5 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 12,5·2,5 − 5·2,5²/2 = 15,63 kN·m

Atsakymas

M_max = 15,63 kN·m

Tai yra taške x = 2,5 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 27,61 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

Svorio centras

ȳ = (800·4 + 1152·44)/1952 = 27,61 mm

Atsakymas

ȳ = 27,61 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 81,15 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

sienelė: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·227,5 + 3960·110)/6960 = 160,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·15³/12 + 3000·(227,5 − 160,6)² = 1,346 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 18·220³/12 + 3960·(110 − 160,6)² = 2,613 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,346 × 10⁷ + 2,613 × 10⁷ = 3,959 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 160,6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·160,6/3,959 × 10⁷ = 81,15 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 81,15 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 109,2 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((130 − −80)/2)² + −30²) = 109,2 MPa

Atsakymas

τ_max = 109,2 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,08

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 75 MPa, R = 65,76 MPa

σ₁ = 140,8 MPa, σ₂ = 9,235 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(140,8² − 140,8·9,235 + 9,235²) = 136,4 MPa

n = 420/136,4 = 3,08

Atsakymas

n = 3,08

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 23,53 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,882 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008824 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 23,53 mm

Atsakymas

δ_B = 23,53 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,893 × 10⁸ mm⁴

I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 224,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224,2 kN

Atsakymas

P_cr = 224,2 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 26,99 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Atsakymas

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials