Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 100 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 110 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 48 mm, ilgis 1,2 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 1500 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 75 kW esant 1500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 40 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 6 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mM₀ = 40 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 6 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_max tarp atramų.

L = 7 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 7 matramos ties x = 0 ir x = 5 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 210 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 30 × 30 mmskylės centras: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 20 mm skersmens velenas perduoda 170 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 100 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 20 mmF = −170 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta dviem vienodomis sutelktosiomis jėgomis P trečdalio taškuose (L/3 nuo kiekvienos atramos). Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį tarpatramio viduryje δ_max.

P = 11 kNL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,063 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/70000 = 0,002021 = 2021 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002021·3000 mm = 6,063 mm

Atsakymas

δ = 6,063 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 23,29 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·1500/70000 = 2,45 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·1500/70000 = 20,84 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 23,29 mm

Atsakymas

δ = 23,29 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,133 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Sukimo kampas

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1200/(26000·3,5 × 10⁶) = 0,01978 rad

φ = 0,01978·180/π = 1,133°

Atsakymas

φ = 1,133°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 61,48 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 61,48 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(34,35, 61,48) = 61,48 mm

Atsakymas

d = 61,48 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −30 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/8 = 5 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −5·6 = −30 kN·m

Atsakymas

M_x = −30 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 26,46 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, veikianti taške x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·7·3,5

R_B = 294/5 = 58,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 58,8 = 25,2 kN

Nulinė skersinė jėga

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 25,2/12 = 2,1 m

Didžiausias teigiamas momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 25,2²/(2·12) = 26,46 kN·m

Atsakymas

M_max = 26,46 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 7,241 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

sienelė: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·125 + 2400·60)/4200 = 87,86 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 180·10³/12 + 1800·(125 − 87,86)² = 2,498 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·120³/12 + 2400·(60 − 87,86)² = 4,742 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,498 × 10⁶ + 4,742 × 10⁶ = 7,241 × 10⁶ mm⁴ = 7,241 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 7,241 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (45000·150 − 900·210)/(45000 − 900) = 148,8 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·300³/12 + 45000·1,224² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·30³/12 + 900·61,22² = 3,441 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −59,87 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −20/40,31 = −0,4961, sin 2θ_s = −35/40,31 = −0,8682

2θ_s = atan2(−35, −20) = −119,7°

Kampas elemente

θ_s = −59,87°

patikra: θ_s − θ_p = −59,87 − (−14,87) = −45°

Atsakymas

θ_s = −59,87°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 7,389 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −170000/(π·20²/4) = −170000/314,2 = −541,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −270,6 MPa

R = √((−270,6)² + 63,66²) = 278 MPa

σ₁ = C + R = 7,389 MPa

σ₂ = C − R = −548,5 MPa

Atsakymas

σ₁ = 7,389 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,002679 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,002679 rad

Atsakymas

θ_A = 0,002679 rad

Tai yra 0,1535°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 3,514 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Viena apkrova taške L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 1,757 mm

Sudėkite abi apkrovas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 3,514 mm

Atsakymas

δ_max = 3,514 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 157,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157,9 kN

Atsakymas

P_cr = 157,9 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 22,56 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Atsakymas

σ_cr = 22,56 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials