Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 12 mmŽalvaris1 mP = 110 kN

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
100 kN12500 mm300 mmØ20Ø30σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 100 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
d = 20 mmT = 50 N·m300 mmφ = 1,4°

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 20 mm, sukamas 50 N·m sukimo momentu. Abu 300 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 1,4° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 50 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1,4°
G = GPa
4.Velenų sukimasSunkus
do​ = ?5 kW, 500 rpm

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

P = 5 kWN = 500 rpmdi/do = 0,8τallow = 50 MPa
do = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 15 kNP2​ = 75 kNAB5 m3 m2 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 10 mP1 = 15 kN ties 5 mP2 = 75 kN ties 8 m
Mmax = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 12 kN/mP = 55 kNABpjūvis0,5 m2,5 m5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 55 kN ties 3 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
1601520016xmatmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
3001522018xM = 25 kN·mmatmenys mm

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 25 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 220 mmM = 25 kN·m
σviršus = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 50σy​ = −60τxy​ = 30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θp nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σx = 50 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 100σy​ = −40τxy​ = −30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 100 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 5 kN/mP = 20 kNABδ2 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 2,5 kN/mABδ5 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 125 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 125 mm
hreq = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 2,5 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 9726 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/100000 = 0,009726 = 9726 µε

Atsakymas

ε = 9726 µε
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 92,26 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 100000·235619/361283 = 65217 N

Įtempis

σ2 = 65217/706,9 = 92,26 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 92,26 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 39,08 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Šlyties modulis

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·300/(15708·0,02443) = 39081 MPa
G = 39,08 GPa

Atsakymas

G = 39,08 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 25,45 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0,5904)) = 25,45 mm
di = 0,8·25,45 = 20,36 mm

Atsakymas

do = 25,45 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 21,35 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 135 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 15·5 + 75·8
RB = 675/10 = 67,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 67,5 = 22,5 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P1: M = RA·5 = 22,5·5 = 112,5 kN·m
po P2: M = RB·2 = 67,5·2 = 135 kN·m

Didžiausia reikšmė

Mmax = 135 kN·m (po P2)

Atsakymas

Mmax = 135 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 39,69 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·3 + 12·8·4
RB = 549/8 = 68,63 kN
ΣFy = 0: RA = 151 − 68,63 = 82,38 kN
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = 82,38RB​ = 68,63pjūvis0,5 m2,5 m5 m

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 82,38·0,5 − 12·0,5·0,25 = 39,69 kN·m

Atsakymas

Mx = 39,69 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 26,56 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 200 + 15/2 = 207,5 mm
sienelė: Aw = 16·200 = 3200 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·207,5 + 3200·100)/5600 = 146,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·15³/12 + 2400·(207,5 − 146,1)² = 9,101 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 16·200³/12 + 3200·(100 − 146,1)² = 1,746 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,101 × 10⁶ + 1,746 × 10⁷ = 2,656 × 10⁷ mm⁴ = 26,56 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 26,56 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σviršus = 34,62 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
sienelė: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·227,5 + 3960·110)/8460 = 172,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(227,5 − 172,5)² = 1,37 × 10⁷ mm⁴
sienelė: 18·220³/12 + 3960·(110 − 172,5)² = 3,144 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,37 × 10⁷ + 3,144 × 10⁷ = 4,514 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 235 − 172,5 = 62,5 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·62,5/4,514 × 10⁷ = 34,62 MPa

Atsakymas

σviršus = 34,62 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θp = 14,31 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCσ1​σ2​

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θp = atan2(2·30, 50 − −60) = 28,61°

Kampas elemente

θp = 14,31°

Atsakymas

θp = 14,31°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = −30,98 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 30 + 70·−0,5 + −30·0,866 = −30,98 MPa

Atsakymas

σθ = −30,98 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 47,98 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(3EI) = 20000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 40,4 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 7,576 mm

Sudėkite

δ = 40,4 + 7,576 = 47,98 mm

Atsakymas

δ = 47,98 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 207,1 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·20) = 9,248 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·9,248 × 10⁷/125)1/3 = 207,1 mm

Atsakymas

hreq = 207,1 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 56,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56,06 kN

Atsakymas

Pcr = 56,06 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 17,77 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333,3

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Atsakymas

σcr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials