Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 16 mmPlienas2,5 mP = 100 kN

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
30 kN12600 mm300 mmØ25Ø40σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = ?10 kW, 300 rpm

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 10 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,25°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
M0​ = 25 kN·mAB3 m7 m

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 25 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 3 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mM0 = 25 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 3 m
Mx = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 5 kN/mP = 55 kNABpjūvis5 m2 m3 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 7 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 55 kN ties 5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
3001518018xmatmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
1403024010xM = 40 kN·mmatmenys mm

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.

bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 240 mmM = 40 kN·m
σviršus = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 70σy​ = 60τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −70σy​ = 90τxy​ = −40MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
P = 18 kNABδ1 m4 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.

P = 18 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 20 kN/mδL = 2 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą Ireq, tenkinantį šią sąlygą.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 2487 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/200000 = 0,002487 = 2487 µε

Atsakymas

ε = 2487 µε
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 18,01 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 30000·502655/666279 = 22633 N

Įtempis

σ2 = 22633/1257 = 18,01 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 18,01 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,155 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0,03761 rad
φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Atsakymas

φ = 2,155°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 73,12 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·318310/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 73,12 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(27,86, 73,12) = 73,12 mm

Atsakymas

d = 73,12 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 17,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/10 = 2,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −2,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.

Mx = RA·a + M0 = −2,5·3 + 25 = 17,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 17,5 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 135 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·5 + 5·10·5
RB = 525/10 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 52,5 = 52,5 kN
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = 52,5RB​ = 52,5pjūvis5 m2 m3 m

Perpjaukite ties x = 7 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 52,5·7 − 55·(7 − 5) − 5·7·3,5 = 135 kN·m

Atsakymas

Mx = 135 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 26,74 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
sienelė: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·187,5 + 3240·90)/7740 = 146,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(187,5 − 146,7)² = 7,58 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 18·180³/12 + 3240·(90 − 146,7)² = 1,916 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,58 × 10⁶ + 1,916 × 10⁷ = 2,674 × 10⁷ mm⁴ = 26,74 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 26,74 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σviršus = 64,62 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
sienelė: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·255 + 2400·120)/6600 = 205,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·30³/12 + 4200·(255 − 205,9)² = 1,044 × 10⁷ mm⁴
sienelė: 10·240³/12 + 2400·(120 − 205,9)² = 2,923 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,044 × 10⁷ + 2,923 × 10⁷ = 3,967 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 270 − 205,9 = 64,09 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·64,09/3,967 × 10⁷ = 64,62 MPa

Atsakymas

σviršus = 64,62 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 47,71 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 65 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa
σ1 = 95,41 MPa, σ2 = 34,59 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60,83, 95,41, 34,59)/2 = 47,71 MPa

Atsakymas

τabs = 47,71 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = 49,28 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −−80·0,866 + −40·0,5 = 49,28 MPa

Atsakymas

τθ = 49,28 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δB = 50 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δP = Pa³/(3EI) = 7,143 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01071 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 50 mm

Atsakymas

δB = 50 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: Ireq = 68,18 × 10⁶ mm⁴

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·11000·5,556) = 6,818 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 68,18 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ireq = 68,18 × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 15,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Atsakymas

Pcr = 15,5 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 49,35 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Atsakymas

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials