Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 120 kN1 ruožas: Ø25 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 40 N·m sukimo momentu. Abu 300 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 3,55° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 40 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 15 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 40 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 4 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 4 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 35 kN ties 2,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 160 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 460 mm, o sienelės storis 6 mm. Raskite jo tamprųjį atsparumo momentą S_x lenkiant horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 160 mmH = 460 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 60° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 50 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 50 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 85 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 85 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1883 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·500/6,637 × 10⁸ = 0,1883 mm

Atsakymas

δ = 0,1883 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 596,8 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 596,8 MPa

Atsakymas

σ_max = 596,8 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 38,97 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Šlyties modulis

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(4970·0,06196) = 38968 MPa

G = 38,97 GPa

Atsakymas

G = 38,97 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 43,2 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·50)) = 36,5 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 43,2 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(36,5, 43,2) = 43,2 mm

Atsakymas

d = 43,2 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −8 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra R_A ir jėgų pora.

M_x = R_A·a + M₀ = −8·4 + 40 = 8 kN·m

Atsakymas

M_x = 8 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 86,04 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2,5 + 8·6·3

R_B = 231,5/6 = 38,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 38,58 = 44,42 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 44,42·2,5 − 8·2,5·1,25 = 86,04 kN·m

Atsakymas

M_x = 86,04 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: S_x = 1509 × 10³ mm³

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 460 − 2·20 = 420 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·460³ − 154·420³)/12

I_x = 3,47 × 10⁸ mm⁴

Atsparumo momentas

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 3,47 × 10⁸/230

S_x = 1,509 × 10⁶ mm³ = 1509 × 10³ mm³

Atsakymas

S_x = 1509 × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 96,44 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

sienelė: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·227,5 + 3960·110)/6060 = 150,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·15³/12 + 2100·(227,5 − 150,7)² = 1,242 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 18·220³/12 + 3960·(110 − 150,7)² = 2,254 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,242 × 10⁷ + 2,254 × 10⁷ = 3,496 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 235 − 150,7 = 84,28 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·84,28/3,496 × 10⁷ = 96,44 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 96,44 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 10,36 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 60 − (−30)·(−0,5) − 40·0,866 = 10,36 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 109,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 10,36 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −15,34 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −5·0,9848 + 60·−0,1736 = −15,34 MPa

Atsakymas

τ_θ = −15,34 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 8,658 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 8,658 mm

Atsakymas

δ = 8,658 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 186,4 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2,697 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·2,697 × 10⁷/50)^1/3 = 186,4 mm

Atsakymas

h_req = 186,4 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,888 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Atsakymas

P_cr = 5,888 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 90,7 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,7 mm

Atsakymas

d = 90,7 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 132,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials