Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
P = ?12600 mm500 mmØ20Ø50δ = 0,25 mm

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,25 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 40 mmPlienas0,5 mØ 12 mmAliuminis0,5 mP = 100 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 100 kN1 ruožas: Ø40 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
d = ?T = 250 N·mL = 1 m

Pilnavidurį 1 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 250 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 0,5°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 250 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Velenų sukimasSunkus
do​ = ?20 kW, 300 rpm

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 20 kW esant 300 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,7, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

P = 20 kWN = 300 rpmdi/do = 0,7τallow = 75 MPa
do = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 80 kNP2​ = 20 kNAB3,5 m1,5 m1 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 6 mP1 = 80 kN ties 3,5 mP2 = 20 kN ties 5 m
Mmax = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 6 kN/mP = 20 kNABpjūvis5 m5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 20 kN ties 5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
150 mm150 mm45 mmØ60xIx​ = ?

150 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 45 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmskylės centras: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm300 mm180 mm30 × 50xIx​ = ?

200 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 180 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmiškirpimas: 30 × 50 mmskylės centras: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 160σy​ = 60τxy​ = 50MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

σx = 160 MPaσy = 60 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​τxy​viršutinis veleno paviršius

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 100 N·m lenkimo momentą kartu su 1000 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ1.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 8 kN/mABθ2 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θA ties atrama A, radianais.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 10 kN/mδL = 8 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą Ireq, tenkinantį šią sąlygą.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aliuminis)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 2 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 18,96 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,25/1,319 × 10⁻⁵ = 18958 N = 18,96 kN

Atsakymas

P = 18,96 kN
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 884,2 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 79,58 MPa
σ2 = 884,2 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 884,2 MPa

Atsakymas

σmax = 884,2 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 52,3 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·1000/(39000·0,008727) = 734561 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)1/4 = 52,3 mm

Atsakymas

d = 52,3 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 38,46 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·75·0,7599)) = 38,46 mm
di = 0,7·38,46 = 26,92 mm

Atsakymas

do = 38,46 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 35,1 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 128,3 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·6 = 80·3,5 + 20·5
RB = 380/6 = 63,33 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 63,33 = 36,67 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P1: M = RA·3,5 = 36,67·3,5 = 128,3 kN·m
po P2: M = RB·1 = 63,33·1 = 63,33 kN·m

Didžiausia reikšmė

Mmax = 128,3 kN·m (po P1)

Atsakymas

Mmax = 128,3 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 125 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 6·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 40RB​ = 40pjūvis5 m5 m

Perpjaukite ties x = 5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 40·5 − 6·5·2,5 = 125 kN·m

Atsakymas

Mx = 125 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 2827·45)/(22500 − 2827) = 79,31 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·−4,312² = 42,61 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−34,31² = 3,965 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 1500·180)/(60000 − 1500) = 149,2 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·0,7692² = 450 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·50³/12 + 1500·30,77² = 1,733 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 448,3 × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 70,71 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Moro apskritimo spindulys

τmax = R = √(((160 − 60)/2)² + 50²) = 70,71 MPa

Atsakymas

τmax = 70,71 MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ1 = 208,4 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa
στxyCσ1​σ2​

Moro apskritimas

C = σ/2 = 18,86 MPa
R = √(18,86² + 188,6²) = 189,6 MPa
σ1 = C + R = 208,4 MPa
σ2 = C − R = −170,7 MPa

Atsakymas

σ1 = 208,4 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θA = 0,006734 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θA = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,006734 rad

Atsakymas

θA = 0,006734 rad

Tai yra 0,3858°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·8000⁴/(384·70000·22,22) = 3,429 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 24,22 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Atsakymas

Pcr = 24,22 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 26,99 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Atsakymas

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials