Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 95 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš bronza (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 110 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 60 mm, vidinis skersmuo 36 mm, ilgis 1,2 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 400 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 100 kW esant 1450 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 2 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mP = 70 kN ties 2 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 10 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 5,906 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 472,5/200000 = 0,002362 = 2362 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002362·2500 mm = 5,906 mm

Atsakymas

δ = 5,906 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 12,45 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·1,08 × 10⁶/1,325 × 10⁶ = 24444 N

Įtempis

σ₂ = 24444/1963 = 12,45 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 12,45 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,9551 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Sukimo kampas

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(26000·1,107 × 10⁶) = 0,01667 rad

φ = 0,01667·180/π = 0,9551°

Atsakymas

φ = 0,9551°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 45,45 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·25/362265 = 45,45 MPa

Atsakymas

τ_max = 45,45 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −17,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −8,75 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −8,75·2 = −17,5 kN·m

Atsakymas

M_x = −17,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 128 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 70·2 + 2·10·5

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 24 = 66 kN

Kur V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 62 kN

V(2⁺) = 62 − 70 = −8 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 66·2 − 2·2²/2 = 128 kN·m

Atsakymas

M_max = 128 kN·m

Tai yra taške x = 2 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 32,46 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

sienelė: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·227,5 + 2640·110)/6540 = 180,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 180,1)² = 8,847 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·220³/12 + 2640·(110 − 180,1)² = 2,361 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,847 × 10⁶ + 2,361 × 10⁷ = 3,246 × 10⁷ mm⁴ = 32,46 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 32,46 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 122,4 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

sienelė: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 2800·70)/5000 = 103 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·10³/12 + 2200·(145 − 103)² = 3,899 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·140³/12 + 2800·(70 − 103)² = 7,623 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,899 × 10⁶ + 7,623 × 10⁶ = 1,152 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 150 − 103 = 47 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·47/1,152 × 10⁷ = 122,4 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 122,4 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 60,62 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 80 MPa, R = √((−10)² + (−40)²) = 41,23 MPa

σ₁ = 121,2 MPa, σ₂ = 38,77 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82,46, 121,2, 38,77)/2 = 60,62 MPa

Atsakymas

τ_abs = 60,62 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 12,48 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 65 + −35·0,766 + −40·0,6428 = 12,48 MPa

Atsakymas

σ_θ = 12,48 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 11,43 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 11,43 mm

Atsakymas

δ = 11,43 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 94,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Atsakymas

P_cr = 94,2 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 69,09 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Atsakymas

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials