Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 12 mmAliuminis1,5 mP = 55 kN

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 55 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
P = ?Ø4070 GPaØ120/50300 mm

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą Pmax.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Velenų sukimasVidutinis
do​ = ?T = 750 N·m

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 750 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

T = 750 N·mdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = 25 mmT0​ = 100 N·mACBa = 2 mb = 0,8 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 2 m atstumu nuo A ir 0,8 m atstumu nuo B, pridėtas 100 N·m sukimo momentas. Raskite skerspjūvio C posūkio kampą φC laipsniais.

d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 2 mb = 0,8 mG = 80 GPa
φC = °
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
12 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 6 m12 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 12 kN/mABC6 m1 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 7 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 7 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
Mmax = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
300120t = 14xmatmenys mm

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 300 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 120 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 14 mm. Raskite jo inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 300 mmh = 120 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm300 mm180 mm30 × 30xIx​ = ?

150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 180 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 30 × 30 mmskylės centras: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 90σy​ = 80τxy​ = 20MPa

Taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 90 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −10σy​ = 70τxy​ = −30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = −10 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
P = 17 kNABδ7 m1 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 7 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 17 kNa = 7 mL = 8 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 3 kN/mABδ4,5 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 100 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/300. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 100 mm
hreq = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 20 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 3 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 10,42 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/70000 = 0,006947 = 6947 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,006947·1500 mm = 10,42 mm

Atsakymas

δ = 10,42 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: Pmax = 543,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

Pmax = 0,0006·9,056 × 10⁸ = 543338 N = 543,3 kN

Atsakymas

Pmax = 543,3 kN
3.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 51,89 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0,6836)) = 51,89 mm
di = 0,75·51,89 = 38,92 mm

Atsakymas

do = 51,89 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 45,71 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φC = 1,067 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0,8/2,8 = 28,57 N·m
TB = 100·2/2,8 = 71,43 N·m

C posūkio kampas

Naudokite ruožą AC: jis įtvirtintas ties A ir perduoda TA.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 28571·2000/(80000·38350) = 0,01863 rad = 1,067°

Atsakymas

φC = 1,067°
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 36,5 kN, R2 = 36,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 73, MC = 146, MD = 195 kN·m, ME = 146, MF = 73, MG = 0

Atsakymas

Žymė D: MD = 195 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 51,04 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, veikianti taške x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·7·3,5
RB = 294/6 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49 = 35 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 35/12 = 2,917 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 35²/(2·12) = 51,04 kN·m

Atsakymas

Mmax = 51,04 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 9,108 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A1 = 300·14 = 4200 mm², y1 = 7 mm
dvi lentynos: A2 = 2·14·106 = 2968 mm², y2 = 14 + 106/2 = 67 mm

Svorio centras

ȳ = (4200·7 + 2968·67)/7168 = 31,84 mm

Šteinerio teorema

bazė: 300·14³/12 + 4200·(7 − 31,84)² = 2,661 × 10⁶ mm⁴
dvi lentynos: 2·14·106³/12 + 2968·(67 − 31,84)² = 6,447 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,661 × 10⁶ + 6,447 × 10⁶
Ix = 9,108 × 10⁶ mm⁴ = 9,108 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 9,108 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 336,6 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (45000·150 − 900·180)/(45000 − 900) = 149,4 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·300³/12 + 45000·0,6122² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·30³/12 + 900·30,61² = 0,9109 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 336,6 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 336,6 × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = −7,018 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

σxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = 20/20,62 = 0,9701, sin 2θs = −5/20,62 = −0,2425
2θs = atan2(−5, 20) = −14,04°

Kampas elemente

θs = −7,018°
patikra: θs − θp = −7,018 − 37,98 = −45°

Atsakymas

θs = −7,018°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 24,02 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 30 + −40·−0,5 + −30·0,866 = 24,02 MPa

Atsakymas

σθ = 24,02 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 3,099 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·7000²·1000²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 3,099 mm

Atsakymas

δP = 3,099 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 226,7 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·15) = 9,708 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·9,708 × 10⁷/100)1/3 = 226,7 mm

Atsakymas

hreq = 226,7 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 15,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15,5 kN

Atsakymas

Pcr = 15,5 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 1,919 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/10 = 600

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Atsakymas

σcr = 1,919 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials