Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 20 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 105 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 1500 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 2 m atstumu nuo A ir 1 m atstumu nuo B, pridėtas 2000 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 25 mmT₀ = 2000 N·ma = 2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 2,5 mP = 30 kN ties 1,5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 2,5 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 5 mw = 24 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

100 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmiškirpimas: 40 × 30 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 140 MPa ir σᵧ = 40 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 180 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 180 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 19 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 13 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 50 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,164 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/70000 = 0,0005821 = 582,1 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0005821·2000 mm = 1,164 mm

Atsakymas

δ = 1,164 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 5,821 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148,5·1500/117000 = 1,904 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·1500/200000 = 3,917 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,821 mm

Atsakymas

δ = 5,821 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 65,37 mm

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·40·0,6836)) = 65,37 mm

d_i = 0,75·65,37 = 49,03 mm

Atsakymas

d_o = 65,37 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 57,59 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 666,7 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1/3 = 666,7 N·m

T_B = 2000·2/3 = 1333 N·m

Atsakymas

T_A = 666,7 N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −57,5 kN·m

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −30·1,5 = −45 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_A = −45 − 12,5 = −57,5 kN·m

Atsakymas

M_A = −57,5 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 69,12 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·4·2

R_B = 192/5 = 38,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 38,4 = 57,6 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 57,6/24 = 2,4 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 57,6·2,4 − 24·2,4²/2 = 69,12 kN·m

Atsakymas

M_max = 69,12 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·150 − 2827·105)/(30000 − 2827) = 154,7 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·300³/12 + 30000·−4,682² = 225,7 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−49,68² = 7,615 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 33,37 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 1200·60)/(18000 − 1200) = 76,07 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−1,071² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·30³/12 + 1200·−16,07² = 0,3999 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 33,37 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 33,37 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 74,83 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (140 + 40)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 180 − 90 = 90 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 50²) = 74,83 MPa

Atsakymas

τ_xy = 74,83 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 11,52 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −5 + −75·0,1736 + 30·0,9848 = 11,52 MPa

Atsakymas

σ_θ = 11,52 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 4,967 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·2000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 4,967 mm

Atsakymas

δ_P = 4,967 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 4,048 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·4000³/(48·8,4 × 10¹²) = 2,063 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,984 mm

Sudėkite

δ_max = 2,063 + 1,984 = 4,048 mm

Atsakymas

δ_max = 4,048 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 20,56 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/10000² = 20562 N = 20,56 kN

Atsakymas

P_cr = 20,56 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 39,04 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 39,04 mm

Atsakymas

d = 39,04 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 153,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials