Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 3 m; ruožo BC skersmuo 40 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 300 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 4 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m40 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 25 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 60 mm skersmens velenas perduoda 160 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 500 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 60 mmF = 160 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 19,69 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/1,523 × 10⁻⁵ = 19694 N = 19,69 kN

Atsakymas

P = 19,69 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 9,126 MPa

Standumai

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 20000·439823/767072 = 11468 N

Įtempis

σ₂ = 11468/1257 = 9,126 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 9,126 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 10,5 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,03023 rad

φ_BC = 500000·3000/(39000·251327) = 0,153 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,03023 + 0,153 = 0,1833 rad = 10,5°

Atsakymas

φ_C = 10,5°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 33,4 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·75·0,8704)) = 33,4 mm

d_i = 0,6·33,4 = 20,04 mm

Atsakymas

d_o = 33,4 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 31,89 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 28,75 kN, R₂ = 46,25 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 28,75, M_C = 55, M_D = 76,25, M_E = 92,5 kN·m, M_F = 46,25, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 92,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 20 kN, R₂ = 55 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −100, M_D = −130, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −160 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 37,38 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

sienelė: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·250 + 3360·120)/5360 = 168,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·20³/12 + 2000·(250 − 168,5)² = 1,335 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·240³/12 + 3360·(120 − 168,5)² = 2,403 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,335 × 10⁷ + 2,403 × 10⁷ = 3,738 × 10⁷ mm⁴ = 37,38 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 37,38 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 225,6 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

sienelė: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·155 + 2240·70)/5240 = 118,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·30³/12 + 3000·(155 − 118,7)² = 4,186 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·140³/12 + 2240·(70 − 118,7)² = 8,963 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,186 × 10⁶ + 8,963 × 10⁶ = 1,315 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 118,7 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·118,7/1,315 × 10⁷ = 225,6 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 225,6 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −51,62 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −20/87,32 = −0,229, sin 2θ_s = −85/87,32 = −0,9734

2θ_s = atan2(−85, −20) = −103,2°

Kampas elemente

θ_s = −51,62°

patikra: θ_s − θ_p = −51,62 − (−6,62) = −45°

Atsakymas

θ_s = −51,62°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 58,95 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 160000/(π·60²/4) = 160000/2827 = 56,59 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 28,29 MPa

R = √(28,29² + 11,79²) = 30,65 MPa

σ₁ = C + R = 58,95 MPa

σ₂ = C − R = −2,358 MPa

Atsakymas

σ₁ = 58,95 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,01044 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 8·5000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,01044 rad

Atsakymas

θ_A = 0,01044 rad

Tai yra 0,5983°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 180,9 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·20) = 3,699 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·3,699 × 10⁷/75)^1/3 = 180,9 mm

Atsakymas

h_req = 180,9 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 24,22 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Atsakymas

P_cr = 24,22 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 12,34 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Atsakymas

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials