Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 40 N·m sukimo momentu. Abu 300 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 3,55° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 40 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 15 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_B ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 7,5 mP₁ = 30 kN ties 2 mP₂ = 40 kN ties 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

M_B = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 8 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmskylės centras: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 100 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 1500 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 30 mmF = −100 kNT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 18 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 20 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1592 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/200000 = 0,001592 = 1592 µε

Atsakymas

ε = 1592 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 525,1 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·8482 = 7,351 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (aliuminis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0007143·7,351 × 10⁸ = 525095 N = 525,1 kN

Atsakymas

P_max = 525,1 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 38,97 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Šlyties modulis

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(4970·0,06196) = 38968 MPa

G = 38,97 GPa

Atsakymas

G = 38,97 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 25,6 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/466269 = 25,6 MPa

Atsakymas

τ_max = 25,6 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_B = −60 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 40·7,5

R_B = 360/6 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 60 = 10 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolę veikia tik P₂, kurios petys a. Ji lenkia siją virš atramos į viršų (neigiamas lenkimas).

M_B = −P₂·a = −40·1,5 = −60 kN·m

Atsakymas

M_B = −60 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 42,19 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·6·3

R_B = 108/8 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 13,5 = 22,5 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 22,5/6 = 3,75 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 22,5·3,75 − 6·3,75²/2 = 42,19 kN·m

Atsakymas

M_max = 42,19 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·−1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 71,67 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

sienelė: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 2000·100)/9200 = 190 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·30³/12 + 7200·(215 − 190)² = 5,04 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·200³/12 + 2000·(100 − 190)² = 2,287 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,04 × 10⁶ + 2,287 × 10⁷ = 2,791 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 230 − 190 = 40 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·40/2,791 × 10⁷ = 71,67 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 71,67 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 67,5 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·10, 50 − 70) = 135°

Kampas elemente

θ_p = 67,5°

Atsakymas

θ_p = 67,5°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 291,7 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −100000/(π·30²/4) = −100000/706,9 = −141,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −70,74 MPa

R = √((−70,74)² + 282,9²) = 291,7 MPa

Atsakymas

τ_max = 291,7 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 4,72 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·2500³/(3·2,4 × 10¹³) = 3,906 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 0,8138 mm

Sudėkite

δ = 3,906 + 0,8138 = 4,72 mm

Atsakymas

δ = 4,72 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,26 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 58,95 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2500² = 58954 N = 58,95 kN

Atsakymas

P_cr = 58,95 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 31,58 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·750²/(π³·70000))^(1/4) = 31,58 mm

Atsakymas

d = 31,58 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 94,98, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials