Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 90 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 75 mm, ilgis 3 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 1,2 m. Laisvajame gale C veikia 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 75 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,5°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 7 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 7 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 5,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 40 kN ties 4 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmiškirpimas: 80 × 20 mmskylės centras: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1000 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1,2 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 35° kampą su cilindro ašimi. Raskite tangentinio įtempio didumą |τ_n|, veikiančio išilgai suvirinimo siūlės.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą M_A.

L = 6 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 90 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 90 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,476 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/201,1 = 447,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 447,6/100000 = 0,004476 = 4476 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,004476·1000 mm = 4,476 mm

Atsakymas

δ = 4,476 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 223,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0007143) = 0,0007143 (aliuminis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0007143·3,126 × 10⁸ = 223277 N = 223,3 kN

Atsakymas

P_max = 223,3 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 65,19 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·75³) = 2,414 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Atsakymas

τ_max = 65,19 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 68,62 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

d_τ = ∛(16·493929/(π·75)) = 32,25 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·493929/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 68,62 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(32,25, 68,62) = 68,62 mm

Atsakymas

d = 68,62 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −12 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 7 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 30 − 6·7 = −12 kN

Atsakymas

V_x = −12 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 84,38 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·4 + 5·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Perpjaukite ties x = 5,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 40·5,5 − 40·(5,5 − 4) − 5·5,5·2,75 = 84,38 kN·m

Atsakymas

M_x = 84,38 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 78,2 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

sienelė: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 4480·140)/8980 = 213,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 213,9)² = 2,445 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·280³/12 + 4480·(140 − 213,9)² = 5,374 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,445 × 10⁷ + 5,374 × 10⁷ = 7,82 × 10⁷ mm⁴ = 78,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 78,2 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 268,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 1600·120)/(36000 − 1600) = 151,4 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·−1,395² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·20³/12 + 1600·−31,4² = 1,63 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 268,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 268,4 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −58,28 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−50, 20 − 70) = −116,6°

Kampas elemente

θ_p = −58,28°

Atsakymas

θ_p = −58,28°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: |τ_n| = 28,19 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,2·500/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

|τ_n| = (120 − 60)·sin 35°·cos 35° = 28,19 MPa

Atsakymas

|τ_n| = 28,19 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 5,984 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 5,984 mm

Atsakymas

δ_max = 5,984 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: M_A = 67,5 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·6/8 = 33,75 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 270 − 202,5 = 67,5 kN·m

Atsakymas

M_A = 67,5 kN·m

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 225 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Atsakymas

P_cr = 225 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 56,79 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 56,79 mm

Atsakymas

d = 56,79 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 98,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials