Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 105 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 70 kN ties 2,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 220 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 110 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 8 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 220 mmh = 110 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 120 mm pločio ir 24 mm storio, bendrasis aukštis 400 mm, o sienelės storis 14 mm. Jį veikia 30 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σ_j sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.

B = 120 mmH = 400 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 12 kNa = 2,5 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δ_mid tarpatramio viduryje.

P = 19 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 145 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 145 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 60,32 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/6,631 × 10⁻⁶ = 60319 N = 60,32 kN

Atsakymas

P = 60,32 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 334,2 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 334,2 MPa

Atsakymas

σ_max = 334,2 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 14,03 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·15708) = 0,2449 rad

φ = 0,2449·180/π = 14,03°

Atsakymas

φ = 14,03°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 18,65 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Atsakymas

d = 18,65 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 90 kN, R₂ = 90 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 160, M_C = 280, M_D = 360 kN·m, M_E = 280, M_F = 160, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 360 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 145,8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·2,5 + 10·6·3

R_B = 355/6 = 59,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 59,17 = 70,83 kN

Kur V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 45,83 kN

V(2,5⁺) = 45,83 − 70 = −24,17 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 70,83·2,5 − 10·2,5²/2 = 145,8 kN·m

Atsakymas

M_max = 145,8 kN·m

Tai yra taške x = 2,5 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 30,46 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 220·8 = 1760 mm², y₁ = 4 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·8·102 = 1632 mm², y₂ = 8 + 102/2 = 59 mm

Svorio centras

ȳ = (1760·4 + 1632·59)/3392 = 30,46 mm

Atsakymas

ȳ = 30,46 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_j = 20,73 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 400 − 2·24 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·400³ − 106·352³)/12

I_x = 2,547 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 200 − 24 = 176 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·176/2,547 × 10⁸ = 20,73 MPa

Atsakymas

σ_j = 20,73 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 46,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((130 − 40)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 46,1 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −47,79 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −45·0,9848 + 20·−0,1736 = −47,79 MPa

Atsakymas

τ_θ = −47,79 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 2,604 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·2500³/(3·2,4 × 10¹³) = 2,604 mm

Atsakymas

δ_P = 2,604 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_mid = 4,43 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1,68 × 10¹³) = 4,43 mm

Atsakymas

δ_mid = 4,43 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 45,69 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1500² = 45693 N = 45,69 kN

Atsakymas

P_cr = 45,69 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 90,41 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 90,41 mm

Atsakymas

d = 90,41 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 110,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials