Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 50 mm, ilgis 1,2 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 1,2 m. Laisvajame gale C veikia 400 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 5 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,5°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 25 kN ties 8 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 150 mm pločio ir 24 mm storio, bendrasis aukštis 280 mm, o sienelės storis 8 mm. Raskite jo tamprųjį atsparumo momentą S_x lenkiant horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 150 mmH = 280 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 25 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 20 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1667 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5027 = 4,5 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·300/4,5 × 10⁸ = 0,1667 mm

Atsakymas

δ = 0,1667 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 334,6 kN

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·3063 = 5,576 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·5,576 × 10⁸ = 334580 N = 334,6 kN

Atsakymas

P_max = 334,6 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 75,45 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Atsakymas

τ_max = 75,45 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 41,12 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 41,12 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(22,99, 41,12) = 41,12 mm

Atsakymas

d = 41,12 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 105 kN, R₂ = 105 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 180, M_C = 300, M_D = 360 kN·m, M_E = 300, M_F = 180, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 360 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 120 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·8 + 10·10·5

R_B = 700/10 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 70 = 55 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 55·3 − 10·3·1,5 = 120 kN·m

Atsakymas

M_x = 120 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: S_x = 904,5 × 10³ mm³

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 280 − 2·24 = 232 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·280³ − 142·232³)/12

I_x = 1,266 × 10⁸ mm⁴

Atsparumo momentas

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 1,266 × 10⁸/140

S_x = 904537 mm³ = 904,5 × 10³ mm³

Atsakymas

S_x = 904,5 × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 70,75 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

sienelė: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·272,5 + 4680·130)/7180 = 179,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·25³/12 + 2500·(272,5 − 179,6)² = 2,17 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 18·260³/12 + 4680·(130 − 179,6)² = 3,789 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,17 × 10⁷ + 3,789 × 10⁷ = 5,958 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 285 − 179,6 = 105,4 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·105,4/5,958 × 10⁷ = 70,75 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 70,75 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 47,71 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = −65 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa

σ₁ = −34,59 MPa, σ₂ = −95,41 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60,83, 34,59, 95,41)/2 = 47,71 MPa

Atsakymas

τ_abs = 47,71 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 40 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 10 + 70·0 + −30·−1 = 40 MPa

Atsakymas

σ_θ = 40 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 15,98 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 15,98 mm

Atsakymas

δ_max = 15,98 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 3,364 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 2,588 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 0,7764 mm

Sudėkite

δ_max = 2,588 + 0,7764 = 3,364 mm

Atsakymas

δ_max = 3,364 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,55 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4200² = 2550 N = 2,55 kN

Atsakymas

P_cr = 2,55 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 89,33 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 89,33 mm

Atsakymas

d = 89,33 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 268,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials