Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 150 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 100 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 4 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 8 mP = 40 kN ties 5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 8 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 80 mm, vidinis skersmuo d = 60 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 80 mmd = 60 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 70 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmiškirpimas: 30 × 40 mmskylės centras: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 4 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 3 kNa = 4 mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 544,1 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Atsakymas

ε = 544,1 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 441,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00075, 0,0009091) = 0,00075 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,00075·5,883 × 10⁸ = 441197 N = 441,2 kN

Atsakymas

P_max = 441,2 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,377 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·79522) = 0,05895 rad

φ = 0,05895·180/π = 3,377°

Atsakymas

φ = 3,377°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 86,23 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·30/1,107 × 10⁶ = 86,23 MPa

Atsakymas

τ_max = 86,23 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 52,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 105, M_C = 210 kN·m, M_D = 195, M_E = 130, M_F = 65, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 210 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 105 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5 + 4·8·4

R_B = 328/8 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 41 = 31 kN

Kur V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 11 kN

V(5⁺) = 11 − 40 = −29 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 31·5 − 4·5²/2 = 105 kN·m

Atsakymas

M_max = 105 kN·m

Tai yra taške x = 5 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 25 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 2199 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,374 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(1,374 × 10⁶/2199) = 25 mm

Atsakymas

r = 25 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 78,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 1200·70)/(24000 − 1200) = 101,6 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·−1,579² = 80,06 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·40³/12 + 1200·−31,58² = 1,357 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 78,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 78,7 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 67,08 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = −30 MPa, R = √((−30)² + 60²) = 67,08 MPa

σ₁ = 37,08 MPa, σ₂ = −97,08 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 37,08, 97,08)/2 = 67,08 MPa

Atsakymas

τ_abs = 67,08 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 128,8 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 80 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 138,3 MPa, σ₂ = 21,69 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(138,3² − 138,3·21,69 + 21,69²) = 128,8 MPa

Atsakymas

σ_vM = 128,8 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 63,64 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, a = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 36,36 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01364 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 63,64 mm

Atsakymas

δ_B = 63,64 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 5,062 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2500³/(48·1,7 × 10¹²) = 0,5744 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 4,488 mm

Sudėkite

δ_max = 0,5744 + 4,488 = 5,062 mm

Atsakymas

δ_max = 5,062 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 40,8 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1050² = 40797 N = 40,8 kN

Atsakymas

P_cr = 40,8 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 119,9 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 119,9 mm

Atsakymas

d = 119,9 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 166,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials