Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
250 kNØ2570 GPaØ80/50400 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
30 kN12300 mm400 mmØ25Ø40σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
d = ?T = 1000 N·mL = 2,5 m

Pilnavidurį 2,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 1000 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 3°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1000 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = 25 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0,8 mb = 2,5 m

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 0,8 m atstumu nuo A ir 2,5 m atstumu nuo B, pridėtas 2000 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą TA sienoje A.

d = 25 mmT0 = 2000 N·ma = 0,8 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
M0​ = 45 kN·mAB1 m9 m

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mM0 = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 1 m
Mx = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 8 kN/mP = 25 kNABpjūvis4 m1 m1 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 25 kN ties 5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
120 mm150 mm60 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmskylės centras: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
280201808xM = 40 kN·mmatmenys mm

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σviršus = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = −20σy​ = 20τxy​ = 20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θp nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σx = −20 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​τxy​veleno paviršius

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 200 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 750 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

d = 25 mmF = −200 kNT = 750 N·m
τmax = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 5 kN/mδL = 3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
P = 75 kNAB3 m3 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą MA.

L = 6 mP = 75 kN ties 3 m
MA = kN·m
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 6 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
P = 45 kNL = 2 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 45 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 45 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,3199 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·400/3,126 × 10⁸ = 0,3199 mm

Atsakymas

δ = 0,3199 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 9,595 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 30000·219911/547161 = 12057 N

Įtempis

σ2 = 12057/1257 = 9,595 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 9,595 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 65,76 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·0,05236) = 1,836 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)1/4 = 65,76 mm

Atsakymas

d = 65,76 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: TA = 1515 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2,5/3,3 = 1515 N·m
TB = 2000·0,8/3,3 = 484,8 N·m

Atsakymas

TA = 1515 N·m
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 40,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/10 = 4,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −4,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.

Mx = RA·a + M0 = −4,5·1 + 45 = 40,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 40,5 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 48,67 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·5 + 8·6·3
RB = 269/6 = 44,83 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 44,83 = 28,17 kN
w = 8 kN/mP = 25 kNABRA​ = 28,17RB​ = 44,83pjūvis4 m1 m1 m

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 28,17·4 − 8·4·2 = 48,67 kN·m

Atsakymas

Mx = 48,67 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σviršus = 78,44 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
sienelė: Aw = 8·180 = 1440 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·190 + 1440·90)/7040 = 169,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·20³/12 + 5600·(190 − 169,5)² = 2,53 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 8·180³/12 + 1440·(90 − 169,5)² = 1,3 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,53 × 10⁶ + 1,3 × 10⁷ = 1,553 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 200 − 169,5 = 30,45 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·30,45/1,553 × 10⁷ = 78,44 MPa

Atsakymas

σviršus = 78,44 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θp = 67,5 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCσ1​σ2​

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θp = atan2(2·20, −20 − 20) = 135°

Kampas elemente

θp = 67,5°

Atsakymas

θp = 67,5°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 318,2 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −200000/(π·25²/4) = −200000/490,9 = −407,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa
στxyCτmax​

Moro apskritimas

C = σ/2 = −203,7 MPa
R = √((−203,7)² + 244,5²) = 318,2 MPa

Atsakymas

τmax = 318,2 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 38,35 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 38,35 mm

Atsakymas

δ = 38,35 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: MA = 84,38 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

MA = P·L/2 − RB·L = 225 − 140,6 = 84,38 kN·m

Atsakymas

MA = 84,38 kN·m
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 9,646 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Atsakymas

Pcr = 9,646 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 63,17 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Atsakymas

d = 63,17 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 126,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials