Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 100 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 20 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 45 kN ties 2 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 100 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 170 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 12 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 100 mmh = 170 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 45 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmiškirpimas: 80 × 50 mmskylės centras: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 400 mm, o sienelės storis 8 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 60° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 400 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 115 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 115 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,3002 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·800/3,998 × 10⁸ = 0,3002 mm

Atsakymas

δ = 0,3002 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 527,2 kN

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,001429) = 0,00125 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,00125·4,218 × 10⁸ = 527199 N = 527,2 kN

Atsakymas

P_max = 527,2 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 25,84 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,5904)) = 25,84 mm

d_i = 0,8·25,84 = 20,67 mm

Atsakymas

d_o = 25,84 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 21,68 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 52,54 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 52,54 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(28,97, 52,54) = 52,54 mm

Atsakymas

d = 52,54 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 40 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 30·2 − 10·2·1 = 40 kN·m

Atsakymas

M_x = 40 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 48,75 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 8·4·2

R_B = 154/4 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 77 − 38,5 = 38,5 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 38,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 48,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 48,75 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 70,57 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·12·158 = 3792 mm², y₂ = 12 + 158/2 = 91 mm

Svorio centras

ȳ = (1200·6 + 3792·91)/4992 = 70,57 mm

Atsakymas

ȳ = 70,57 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 28,29 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 4000·45)/(18000 − 4000) = 83,57 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−8,571² = 35,07 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·50³/12 + 4000·−38,57² = 6,784 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 28,29 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 28,29 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = 55,28 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −30/85,44 = −0,3511, sin 2θ_s = −(−80)/85,44 = 0,9363

2θ_s = atan2(80, −30) = 110,6°

Kampas elemente

θ_s = 55,28°

patikra: θ_s − θ_p = 55,28 − (−79,72) = 135°

Atsakymas

θ_s = 55,28°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 39,06 MPa

Sienelės įtempiai

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2,5·200/8 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 31,25·sin²60° + 62,5·cos²60° = 39,06 MPa

Atsakymas

σ_n = 39,06 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,002801 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,002801 rad

Atsakymas

θ_A = 0,002801 rad

Tai yra 0,1605°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,875 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 62,01 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Atsakymas

P_cr = 62,01 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 54,9 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 54,9 mm

Atsakymas

d = 54,9 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 127,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials