Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 100 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 20 N·m sukimo momentu. Abu 400 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 2,36° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 2,36°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 20 kW esant 1500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 12 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 30 × 50 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,06006 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·400/6,66 × 10⁸ = 0,06006 mm

Atsakymas

δ = 0,06006 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 20,07 MPa

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 100000·659734/1,162 × 10⁶ = 56757 N

Įtempis

σ₂ = 56757/2827 = 20,07 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 20,07 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 39,08 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,36·π/180 = 0,04119 rad

Šlyties modulis

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0,04119) = 39078 MPa

G = 39,08 GPa

Atsakymas

G = 39,08 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 28,73 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·40·0,6836)) = 28,73 mm

d_i = 0,75·28,73 = 21,55 mm

Atsakymas

d_o = 28,73 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 25,31 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 6·2 − 2·2·1 = 8 kN·m

Atsakymas

M_x = 8 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 52,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = −30, M_D = −75, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −120 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·75 − 1257·60)/(30000 − 1257) = 75,66 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·150³/12 + 30000·−0,6558² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−15,66² = 0,4337 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 334 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (45000·150 − 1500·105)/(45000 − 1500) = 151,6 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·300³/12 + 45000·−1,552² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·50³/12 + 1500·−46,55² = 3,563 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 334 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 334 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 74,33 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((120 − 10)/2)² + −50²) = 74,33 MPa

Atsakymas

τ_max = 74,33 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −98,3 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −30 + 50·−0,5 + −50·0,866 = −98,3 MPa

Atsakymas

σ_θ = −98,3 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 4,52 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 4,52 mm

Atsakymas

δ = 4,52 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,25 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,373 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3,373 kN

Atsakymas

P_cr = 3,373 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 77,11 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Atsakymas

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials