Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 80 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 50 mm, ilgis 1,5 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 2,5 m. Laisvajame gale C veikia 500 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,5 m atstumu nuo A, veikia 100 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,8 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 500 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 2 mP = 35 kN ties 2 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 2 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x₀ nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.

L = 6 mw = 8 kN/m nuo 2 iki 6 m

x₀ = m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 200 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 420 mm, o sienelės storis 6 mm. Jį veikia 50 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σ_j sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.

B = 200 mmH = 420 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 18 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 4 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 60 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 60 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1213 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/70000 = 0,001213 = 1213 µε

Atsakymas

ε = 1213 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 672,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0008) = 0,0008 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·8,404 × 10⁸ = 672301 N = 672,3 kN

Atsakymas

P_max = 672,3 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 94,31 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Atsakymas

τ_max = 94,31 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 94,31 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Atsakymas

τ_max = 94,31 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −80 kN·m

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −35·2 = −70 kN·m

w: −5·2²/2 = −10 kN·m

M_A = −70 − 10 = −80 kN·m

Atsakymas

M_A = −80 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x₀ = 3,333 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·4·4

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 10,67/8 = 3,333 m

Atsakymas

x₀ = 3,333 m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 9,05 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

sienelė: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 1960·70)/4160 = 109,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·10³/12 + 2200·(145 − 109,7)² = 2,765 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·140³/12 + 1960·(70 − 109,7)² = 6,285 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,765 × 10⁶ + 6,285 × 10⁶ = 9,05 × 10⁶ mm⁴ = 9,05 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 9,05 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_j = 27,32 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 420 − 2·20 = 380 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·420³ − 194·380³)/12

I_x = 3,477 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 210 − 20 = 190 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·190/3,477 × 10⁸ = 27,32 MPa

Atsakymas

σ_j = 27,32 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −73,15 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−10, 70 − 100) = −146,3°

Kampas elemente

θ_p = −73,15°

Atsakymas

θ_p = −73,15°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −75 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−75·−1 + −50·0 = −75 MPa

Atsakymas

τ_θ = −75 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 2,511 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2500²·1500²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 2,511 mm

Atsakymas

δ_P = 2,511 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 18 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

Atsakymas

R_B = 18 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 62,01 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Atsakymas

P_cr = 62,01 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 73,84 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

Atsakymas

d = 73,84 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 216,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials