Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 15 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 25 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,5 m atstumu nuo A, veikia 750 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 25 mmT_B = 750 N·mT_C = 400 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 4,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 25 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Tuščiavidurio stačiakampio (dėžinio) skerspjūvio išorinis plotis B = 260 mm, išorinis aukštis H = 300 mm, o sienelių storis vienodas t = 16 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

B = 260 mmH = 300 mmt = 16 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 140 × 10 mm, sienelė 280 mm aukščio ir 12 mm storio, o apatinė lentyna 290 × 12 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 140 × 10 mmsienelė: 12 × 280 mmapatinė lentyna: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 130 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 800 mm, o sienelės storis 10 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1,2 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 35° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 800 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 22 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 56,55 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/5,305 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

Atsakymas

P = 56,55 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,7999 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1500/117000 = 0,3918 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/117000 = 0,4081 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7999 mm

Atsakymas

δ = 0,7999 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,796 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Atsakymas

φ = 1,796°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 21,94 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 750 = 1150 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,15 × 10⁶·500/(80000·38350) = 0,1874 rad

φ_BC = 400000·1500/(80000·38350) = 0,1956 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,1874 + 0,1956 = 0,383 rad → |φ_C| = 21,94°

Atsakymas

φ_C = 21,94°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −24 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 4,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 30 − 12·4,5 = −24 kN

Atsakymas

V_x = −24 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 34,38 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3 + 3·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 22,5 = 17,5 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 17,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 34,38 kN·m

Atsakymas

M_x = 34,38 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 113,9 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

b = 228 mm, h = 268 mm

A = BH − bh = 260·300 − 228·268 = 16896 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,193 × 10⁸ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(2,193 × 10⁸/16896) = 113,9 mm

Atsakymas

r = 113,9 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 114,3 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1400 mm², y = 297 mm

sienelė: A = 3360 mm², y = 152 mm

apatinė lentyna: A = 3480 mm², y = 6 mm

Svorio centras

ȳ = (1400·297 + 3360·152 + 3480·6)/8240 = 115 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 140·10³/12 + 1400·182² = 4,64 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·280³/12 + 3360·37,02² = 2,656 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 290·12³/12 + 3480·109² = 4,137 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,64 × 10⁷ + 2,656 × 10⁷ + 4,137 × 10⁷

I_x = 1,143 × 10⁸ mm⁴ = 114,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 114,3 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 67,66 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 95 MPa, R = √(35² + (−20)²) = 40,31 MPa

σ₁ = 135,3 MPa, σ₂ = 54,69 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 135,3, 54,69)/2 = 67,66 MPa

Atsakymas

τ_abs = 67,66 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 40,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Plonasienis cilindras: žiedinis įtempis σ_h = pr/t ir ašinis įtempis σ_a = pr/(2t); tai yra sienelės pagrindiniai įtempiai.

Sienelės įtempiai

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/10 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 24·sin²35° + 48·cos²35° = 40,1 MPa

Atsakymas

σ_n = 40,1 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 60,66 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 60,66 mm

Atsakymas

δ_max = 60,66 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 11,65 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11,65 mm

Atsakymas

δ_max = 11,65 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,828 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2800² = 4828 N = 4,828 kN

Atsakymas

P_cr = 4,828 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 27,76 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Atsakymas

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials