Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 10 mmPlienas0,5 mP = 105 kN

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 105 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
P = ?Ø20110 GPaØ120/60600 mm

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą Pmax.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Velenų sukimasVidutinis
d1​ = 60 mmd2​ = 25 mmT = 100 N·mABC1,2 m1,5 m

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 1,2 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 1,5 m. Laisvajame gale C veikia 100 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φC laipsniais.

T = 100 N·md1 = 60 mm, L1 = 1,2 md2 = 25 mm, L2 = 1,5 mG = 26 GPa
φC = °
4.Velenų sukimasSunkus
Td = ?

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 8 kN/mABpjūvis1,5 m4,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
15 kN/m25 kN50 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 0 m50 kN @ 12 m20 kN @ 4 m15 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
100 mm240 mm96 mmØ60xIx​ = ?

100 mm × 240 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 96 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmskylės centras: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm300 mm195 mm80 × 30xIx​ = ?

200 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 195 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmiškirpimas: 80 × 30 mmskylės centras: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 90σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 90 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​τxy​viršutinis veleno paviršius

Pilnaviduris 50 mm skersmens velenas perduoda 300 N·m lenkimo momentą kartu su 500 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
P = 29 kNABδ1,5 m1 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
P = 23 kNABδ5,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δmax.

P = 23 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
P = 35 kNL = 4 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 35 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 35 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,342 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1337/200000 = 0,006685 = 6685 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,006685·500 mm = 3,342 mm

Atsakymas

δ = 3,342 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: Pmax = 543,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,0005455) = 0,0005455 (bronza)

Didžiausia apkrova

Pmax = 0,0005455·9,959 × 10⁸ = 543210 N = 543,2 kN

Atsakymas

Pmax = 543,2 kN
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φC = 8,827 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 100000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,003627 rad
φBC = 100000·1500/(26000·38350) = 0,1504 rad

Bendras sukimo kampas

φC = 0,003627 + 0,1504 = 0,1541 rad = 8,827°

Atsakymas

φC = 8,827°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 18,65 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Atsakymas

d = 18,65 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 27 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24pjūvis1,5 m4,5 m

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 24·1,5 − 8·1,5·0,75 = 27 kN·m

Atsakymas

Mx = 27 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 10 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 93,75 kN, R2 = 121,3 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −50, MC = 57,5, MD = 65, ME = 12,5, MF = −100 kN·m, MG = 0

Atsakymas

Žymė F: MF = −100 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·120 − 2827·96)/(24000 − 2827) = 123,2 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·240³/12 + 24000·−3,205² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−27,21² = 2,729 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 444,8 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 2400·195)/(60000 − 2400) = 148,1 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·1,875² = 450,2 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·30³/12 + 2400·46,88² = 5,453 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 444,8 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 444,8 × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 51,21 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 60 MPa, R = √(30² + 30²) = 42,43 MPa
σ1 = 102,4 MPa, σ2 = 17,57 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(84,85, 102,4, 17,57)/2 = 51,21 MPa

Atsakymas

τabs = 51,21 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 23,76 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24,45 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa
στxyCτmax​

Moro apskritimas

C = σ/2 = 12,22 MPa
R = √(12,22² + 20,37²) = 23,76 MPa

Atsakymas

τmax = 23,76 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 52,03 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa³/(3EI) = 29000·1500³/(3·6,27 × 10¹¹) = 52,03 mm

Atsakymas

δP = 52,03 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 28,1 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 23000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Didžiausias įlinkis

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 28,1 mm

Atsakymas

δmax = 28,1 mm
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 313,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Atsakymas

Pcr = 313,9 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 51,58 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 51,58 mm

Atsakymas

d = 51,58 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 217,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials