Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 70 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 80 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 80 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 50 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 750 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 75 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 7 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 25 kN ties 7 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmiškirpimas: 80 × 20 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1500 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 55° kampą su cilindro ašimi. Raskite tangentinio įtempio didumą |τ_n|, veikiančio išilgai suvirinimo siūlės.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 27 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 95 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 95 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,06836 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 80000·500/5,851 × 10⁸ = 0,06836 mm

Atsakymas

δ = 0,06836 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,771 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·1500/100000 = 1,528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·500/100000 = 1,243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,771 mm

Atsakymas

δ = 2,771 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,461 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·251327) = 0,02551 rad

φ = 0,02551·180/π = 1,461°

Atsakymas

φ = 1,461°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 45,61 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,6836)) = 45,61 mm

d_i = 0,75·45,61 = 34,2 mm

Atsakymas

d_o = 45,61 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 40,18 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 24 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 18·4 − 6·4·2 = 24 kN·m

Atsakymas

M_x = 24 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 84 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 3·10·5

R_B = 325/10 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 32,5 = 22,5 kN

Perpjaukite ties x = 7 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 22,5·7 − 3·7·3,5 = 84 kN·m

Atsakymas

M_x = 84 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 3,921 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

sienelė: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·107,5 + 1600·50)/3100 = 77,82 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·15³/12 + 1500·(107,5 − 77,82)² = 1,349 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·100³/12 + 1600·(50 − 77,82)² = 2,572 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,349 × 10⁶ + 2,572 × 10⁶ = 3,921 × 10⁶ mm⁴ = 3,921 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 3,921 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 77,2 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 1600·60)/(24000 − 1600) = 102,9 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·−2,857² = 80,2 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·20³/12 + 1600·−42,86² = 2,992 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 77,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 77,2 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −71,57 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −30/50 = −0,6

2θ_s = atan2(−30, −40) = −143,1°

Kampas elemente

θ_s = −71,57°

patikra: θ_s − θ_p = −71,57 − (−26,57) = −45°

Atsakymas

θ_s = −71,57°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: |τ_n| = 52,86 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/5 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112,5 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

|τ_n| = (225 − 112,5)·sin 55°·cos 55° = 52,86 MPa

Atsakymas

|τ_n| = 52,86 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 66,43 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·5000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 66,43 mm

Atsakymas

δ = 66,43 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 5,91 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 3,488 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

Sudėkite

δ_max = 3,488 + 2,422 = 5,91 mm

Atsakymas

δ_max = 5,91 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 23,55 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Atsakymas

P_cr = 23,55 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 74,84 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 74,84 mm

Atsakymas

d = 74,84 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 213,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials