Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 2 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 250 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 3°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 250 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 15 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 4 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 20 kN ties 4 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmskylės centras: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 60 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmiškirpimas: 60 × 50 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 9 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 100 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/300. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 32,78 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/1,22 × 10⁻⁵ = 32782 N = 32,78 kN

Atsakymas

P = 32,78 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 443 kN

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·5,537 × 10⁸ = 442965 N = 443 kN

Atsakymas

P_max = 443 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 43,98 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·2000/(26000·0,05236) = 367281 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 43,98 mm

Atsakymas

d = 43,98 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 32,95 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/362265 = 32,95 MPa

Atsakymas

τ_max = 32,95 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −18 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 30 − 12·4 = −18 kN

Atsakymas

V_x = −18 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 45,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4 + 12·5·2,5

R_B = 230/5 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 46 = 34 kN

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 34·3,5 − 12·3,5·1,75 = 45,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 45,5 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 262,7 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 3000·105)/(36000 − 3000) = 154,1 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·−4,091² = 270,6 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

60·50³/12 + 3000·−49,09² = 7,855 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 262,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 262,7 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 60,83 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−20 − 100)/2)² + 10²) = 60,83 MPa

Atsakymas

τ_max = 60,83 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 35,98 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−30·0,866 + 20·0,5 = 35,98 MPa

Atsakymas

τ_θ = 35,98 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 7,576 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·1000³/(3·3,96 × 10¹¹) = 7,576 mm

Atsakymas

δ_P = 7,576 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 157,2 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3,236 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·3,236 × 10⁷/100)^1/3 = 157,2 mm

Atsakymas

h_req = 157,2 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,888 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Atsakymas

P_cr = 5,888 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,99 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials