Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 85 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 1 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 8 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 30 kN ties 8 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 100 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 200 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 10 mm. Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 200 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 230 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 280 mm, o sienelės storis 10 mm. Jį veikia 80 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 230 mmH = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 300 N·m lenkimo momentą kartu su 100 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 25 mmM = 300 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 68,96 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/7,25 × 10⁻⁶ = 68962 N = 68,96 kN

Atsakymas

P = 68,96 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 422,8 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 422,8 MPa

Atsakymas

σ_max = 422,8 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,577 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·38350) = 0,1672 rad

φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Atsakymas

φ = 9,577°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 39,32 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Atsakymas

d = 39,32 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 68,33, M_C = 76,67, M_D = 85, M_E = 93,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 93,33 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 96 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·8 + 6·10·5

R_B = 540/10 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 54 = 36 kN

Perpjaukite ties x = 8 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 36·8 − 6·8·4 = 96 kN·m

Atsakymas

M_x = 96 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 19,36 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 100·10 = 1000 mm², y₁ = 5 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·10·190 = 3800 mm², y₂ = 10 + 190/2 = 105 mm

Svorio centras

ȳ = (1000·5 + 3800·105)/4800 = 84,17 mm

Šteinerio teorema

bazė: 100·10³/12 + 1000·(5 − 84,17)² = 6,276 × 10⁶ mm⁴

dvi lentynos: 2·10·190³/12 + 3800·(105 − 84,17)² = 1,308 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,276 × 10⁶ + 1,308 × 10⁷

I_x = 1,936 × 10⁷ mm⁴ = 19,36 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 19,36 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 66,94 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 280 − 2·20 = 240 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·280³ − 220·240³)/12

I_x = 1,673 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 140 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·140/1,673 × 10⁸ = 66,94 MPa

Atsakymas

σ_max = 66,94 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −9,217 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 60/63,25 = 0,9487, sin 2θ_s = −20/63,25 = −0,3162

2θ_s = atan2(−20, 60) = −18,43°

Kampas elemente

θ_s = −9,217°

patikra: θ_s − θ_p = −9,217 − 35,78 = −45°

Atsakymas

θ_s = −9,217°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 200,9 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 97,78 MPa

R = √(97,78² + 32,59²) = 103,1 MPa

σ₁ = C + R = 200,9 MPa

σ₂ = C − R = −5,289 MPa

Atsakymas

σ₁ = 200,9 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 75,82 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 75,82 mm

Atsakymas

δ_max = 75,82 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 7,324 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2500⁴/(384·200000·6,944) = 7,324 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,324 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 7,324 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 21,7 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN

Atsakymas

P_cr = 21,7 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 100,7 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Atsakymas

σ_cr = 100,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials