Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 20 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 25 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 3 m atstumu nuo A, veikia 750 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,8 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 100 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 25 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 3 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mP = 30 kN ties 9 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 10 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 240 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 96 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmskylės centras: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 200 × 14 mm, sienelė 250 mm aukščio ir 14 mm storio, o apatinė lentyna 150 × 20 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 200 × 14 mmsienelė: 14 × 250 mmapatinė lentyna: 150 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 350 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 9 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 40 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 40 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 50,74 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/7,884 × 10⁻⁶ = 50735 N = 50,74 kN

Atsakymas

P = 50,74 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,523 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·500/200000 = 0,1019 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·1000/70000 = 1,421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,523 mm

Atsakymas

δ = 1,523 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,434 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·79522) = 0,07739 rad

φ = 0,07739·180/π = 4,434°

Atsakymas

φ = 4,434°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 277,1 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 750 = 850 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·25³) = 277,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 277,1 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 39,38 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Perpjaukite ties x = 4,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 20·4,5 − 5·4,5·2,25 = 39,38 kN·m

Atsakymas

M_x = 39,38 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 78,4 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·9 + 5·10·5

R_B = 520/10 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 52 = 28 kN

Kur V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 28/5 = 5,6 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 28·5,6 − 5·5,6²/2 = 78,4 kN·m

Atsakymas

M_max = 78,4 kN·m

Tai yra taške x = 5,6 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 137,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (28800·120 − 1257·96)/(28800 − 1257) = 121,1 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·240³/12 + 28800·−1,095² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−25,09² = 0,917 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 137,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 137,4 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 121,7 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 2800 mm², y = 277 mm

sienelė: A = 3500 mm², y = 145 mm

apatinė lentyna: A = 3000 mm², y = 10 mm

Svorio centras

ȳ = (2800·277 + 3500·145 + 3000·10)/9300 = 141,2 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 200·14³/12 + 2800·135,8² = 5,169 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·250³/12 + 3500·3,806² = 1,828 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 150·20³/12 + 3000·131,2² = 5,174 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,169 × 10⁷ + 1,828 × 10⁷ + 5,174 × 10⁷

I_x = 1,217 × 10⁸ mm⁴ = 121,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 121,7 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = 50,65 °

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −10/50,99 = −0,1961, sin 2θ_s = −(−50)/50,99 = 0,9806

2θ_s = atan2(50, −10) = 101,3°

Kampas elemente

θ_s = 50,65°

patikra: θ_s − θ_p = 50,65 − (−84,35) = 135°

Atsakymas

θ_s = 50,65°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,236

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 25 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 79,08 MPa, σ₂ = −29,08 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 108,2 MPa

n = 350/108,2 = 3,236

Atsakymas

n = 3,236

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 1,256 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·2500²·1500²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 1,256 mm

Atsakymas

δ_P = 1,256 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 99,88 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2500⁴/(384·11000·6,944) = 9,988 × 10⁷ mm⁴

I_req = 99,88 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 99,88 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 23,55 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Atsakymas

P_cr = 23,55 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 65,32 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 65,32 mm

Atsakymas

d = 65,32 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 257,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials