Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 500 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,25 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 30 mm, vidinis skersmuo 18 mm, ilgis 0,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 400 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 30 kW esant 1500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,25°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 10 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 8 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mM₀ = 10 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 8 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 0 m40 kN @ 6 m55 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1000 mm, o sienelės storis 8 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 30° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 1000 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 26 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 36,44 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,25/6,861 × 10⁻⁶ = 36436 N = 36,44 kN

Atsakymas

P = 36,44 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 226,5 kN

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·4006 = 5,435 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0004167) = 0,0004167 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0004167·5,435 × 10⁸ = 226456 N = 226,5 kN

Atsakymas

P_max = 226,5 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 6,368 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Sukimo kampas

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·500/(26000·69216) = 0,1111 rad

φ = 0,1111·180/π = 6,368°

Atsakymas

φ = 6,368°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 48,59 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,59 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(26,89, 48,59) = 48,59 mm

Atsakymas

d = 48,59 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 2 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/10 = 1 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −1 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra R_A ir jėgų pora.

M_x = R_A·a + M₀ = −1·8 + 10 = 2 kN·m

Atsakymas

M_x = 2 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 61,33 kN, R₂ = 94,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = 5,333, M_D = −31,33, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −80 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 3,69 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

sienelė: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·107,5 + 1200·50)/3600 = 88,33 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·15³/12 + 2400·(107,5 − 88,33)² = 926667 mm⁴

sienelė: 12·100³/12 + 1200·(50 − 88,33)² = 2,763 × 10⁶ mm⁴

I_x = 926667 + 2,763 × 10⁶ = 3,69 × 10⁶ mm⁴ = 3,69 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 3,69 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 8,255 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

sienelė: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·310 + 3600·150)/9600 = 250 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·20³/12 + 6000·(310 − 250)² = 2,18 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·300³/12 + 3600·(150 − 250)² = 6,3 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,18 × 10⁷ + 6,3 × 10⁷ = 8,48 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 320 − 250 = 70 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·70/8,48 × 10⁷ = 8,255 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 8,255 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 47,17 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−20 − −70)/2)² + 40²) = 47,17 MPa

Atsakymas

τ_max = 47,17 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 136,7 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2,5·500/8 = 156,3 MPa

σ_a = pr/(2t) = 78,13 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 78,13·sin²30° + 156,3·cos²30° = 136,7 MPa

Atsakymas

σ_n = 136,7 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 20,68 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·2500³/(3·1,7 × 10¹²) = 9,191 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 11,49 mm

Sudėkite

δ = 9,191 + 11,49 = 20,68 mm

Atsakymas

δ = 20,68 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 23,84 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 13,85 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 9,988 mm

Sudėkite

δ_max = 13,85 + 9,988 = 23,84 mm

Atsakymas

δ_max = 23,84 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,205 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Atsakymas

P_cr = 4,205 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 38,86 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Atsakymas

σ_cr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials