Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 80 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 75 mm, ilgis 0,8 m; ruožo BC skersmuo 20 mm, ilgis 1,5 m. Laisvajame gale C veikia 200 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 40 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,2 m atstumu nuo A ir 1 m atstumu nuo B, pridėtas 1500 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 40 mmT₀ = 1500 N·ma = 1,2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mw = 4 kN/m nuo 1 iki 4 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

200 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmiškirpimas: 40 × 50 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 120 MPa ir σᵧ = 50 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 165 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 165 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 20 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 93,36 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/4,285 × 10⁻⁶ = 93359 N = 93,36 kN

Atsakymas

P = 93,36 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 369,5 kN

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·6,158 × 10⁸ = 369451 N = 369,5 kN

Atsakymas

P_max = 369,5 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 13,72 °

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·800/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,0006439 rad

φ_BC = 200000·1500/(80000·15708) = 0,2387 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,0006439 + 0,2387 = 0,2394 rad = 13,72°

Atsakymas

φ_C = 13,72°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 681,8 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1/2,2 = 681,8 N·m

T_B = 1500·1,2/2,2 = 818,2 N·m

Atsakymas

T_A = 681,8 N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 35, M_D = 45 kN·m, M_E = 35, M_F = 20, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 45 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 7,031 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·3·2,5

R_B = 30/4 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7,5 = 4,5 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 4,5/4 = 2,125 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 4,5·2,125 − 4·1,125²/2 = 7,031 kN·m

Atsakymas

M_max = 7,031 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 22,87 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

sienelė: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·245 + 1920·120)/3520 = 176,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·10³/12 + 1600·(245 − 176,8)² = 7,451 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·240³/12 + 1920·(120 − 176,8)² = 1,541 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,451 × 10⁶ + 1,541 × 10⁷ = 2,287 × 10⁷ mm⁴ = 22,87 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 22,87 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 445,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 2000·105)/(60000 − 2000) = 151,6 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·−1,552² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·50³/12 + 2000·−46,55² = 4,751 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 445,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 445,4 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 71,94 MPa

Reikiamas spindulys

C = (120 + 50)/2 = 85 MPa

R = σ₁ − C = 165 − 85 = 80 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 35²) = 71,94 MPa

Atsakymas

τ_xy = 71,94 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 211 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 25 MPa, R = 120,9 MPa

σ₁ = 145,9 MPa, σ₂ = −95,93 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(145,9² − 145,9·(−95,93) + (−95,93)²) = 211 MPa

Atsakymas

σ_vM = 211 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 16,95 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 16,95 mm

Atsakymas

δ_max = 16,95 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 31,32 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 31,32 mm

Atsakymas

δ_max = 31,32 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 15,04 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1750² = 15039 N = 15,04 kN

Atsakymas

P_cr = 15,04 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 4,441 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Atsakymas

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials