Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 105 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 30 mm, ilgis 0,5 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 2 m. Laisvajame gale C veikia 100 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 50 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 20 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 170 × 16 mm, sienelė 190 mm aukščio ir 14 mm storio, o apatinė lentyna 200 × 20 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 170 × 16 mmsienelė: 14 × 190 mmapatinė lentyna: 200 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 70 MPa ir σᵧ = 70 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 105 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 400 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 25° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 400 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 10 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 38,2 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1337/70000 = 0,0191 = 19099 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0191·2000 mm = 38,2 mm

Atsakymas

δ = 38,2 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 34,61 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·247400/404480 = 24466 N

Įtempis

σ₂ = 24466/706,9 = 34,61 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 34,61 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 12,88 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ_BC = 100000·2000/(26000·38350) = 0,2006 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,02418 + 0,2006 = 0,2248 rad = 12,88°

Atsakymas

φ_C = 12,88°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 55,21 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,21 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(40,18, 55,21) = 55,21 mm

Atsakymas

d = 55,21 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 40,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 36·1,5 − 12·1,5·0,75 = 40,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 40,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 60 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 3·8·4

R_B = 156/8 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 19,5 = 24,5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 24,5·3 − 3·3·1,5 = 60 kN·m

Atsakymas

M_x = 60 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 77,53 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

sienelė: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·295 + 3360·140)/10560 = 245,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·30³/12 + 7200·(295 − 245,7)² = 1,805 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·280³/12 + 3360·(140 − 245,7)² = 5,948 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,805 × 10⁷ + 5,948 × 10⁷ = 7,753 × 10⁷ mm⁴ = 77,53 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 77,53 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 79,07 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 2720 mm², y = 218 mm

sienelė: A = 2660 mm², y = 115 mm

apatinė lentyna: A = 4000 mm², y = 10 mm

Svorio centras

ȳ = (2720·218 + 2660·115 + 4000·10)/9380 = 100,1 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 170·16³/12 + 2720·117,9² = 3,787 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·190³/12 + 2660·14,91² = 8,593 × 10⁶ mm⁴

apatinė lentyna: 200·20³/12 + 4000·90,09² = 3,26 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,787 × 10⁷ + 8,593 × 10⁶ + 3,26 × 10⁷

I_x = 7,907 × 10⁷ mm⁴ = 79,07 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 79,07 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 35 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (70 + 70)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 70 = 35 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 0²) = 35 MPa

Atsakymas

τ_xy = 35 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 72,86 MPa

Sienelės įtempiai

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/5 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 40·sin²25° + 80·cos²25° = 72,86 MPa

Atsakymas

σ_n = 72,86 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,02466 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2500³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,02466 rad

Atsakymas

θ_A = 0,02466 rad

Tai yra 1,413°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 22,28 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·2000³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 17,83 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 4,456 mm

Sudėkite

δ_max = 17,83 + 4,456 = 22,28 mm

Atsakymas

δ_max = 22,28 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,924 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/6000² = 2924 N = 2,924 kN

Atsakymas

P_cr = 2,924 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 44,22 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Atsakymas

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials