Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 40 mm, ilgis 200 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 20 kW esant 500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 60 kN ties 2,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 10 MPa ir σᵧ = −10 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 60 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 100 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 55 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 55 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 41,23 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/7,276 × 10⁻⁶ = 41233 N = 41,23 kN

Atsakymas

P = 41,23 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 41,86 MPa

Standumai

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·628319/955568 = 52603 N

Įtempis

σ₂ = 52603/1257 = 41,86 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 41,86 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,577 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·38350) = 0,1672 rad

φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Atsakymas

φ = 9,577°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Atsakymas

d = 28,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 96 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 48·4 − 12·4·2 = 96 kN·m

Atsakymas

M_x = 96 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 66 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 35·2 − 2·2·1 = 66 kN·m

Atsakymas

M_x = 66 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 23,24 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

sienelė: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·207,5 + 2800·100)/4900 = 146,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·15³/12 + 2100·(207,5 − 146,1)² = 7,964 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·200³/12 + 2800·(100 − 146,1)² = 1,528 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,964 × 10⁶ + 1,528 × 10⁷ = 2,324 × 10⁷ mm⁴ = 23,24 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 23,24 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 25 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

sienelė: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·295 + 3360·140)/7560 = 226,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·30³/12 + 4200·(295 − 226,1)² = 2,025 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·280³/12 + 3360·(140 − 226,1)² = 4,687 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,025 × 10⁷ + 4,687 × 10⁷ = 6,711 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 310 − 226,1 = 83,89 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·83,89/6,711 × 10⁷ = 25 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 25 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 59,16 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (10 + (−10))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 0 = 60 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 10²) = 59,16 MPa

Atsakymas

τ_xy = 59,16 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −3,66 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 0 + 10·0,5 + −10·0,866 = −3,66 MPa

Atsakymas

σ_θ = −3,66 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 28,57 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 28,57 mm

Atsakymas

δ = 28,57 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 147,9 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2,697 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·2,697 × 10⁷/100)^1/3 = 147,9 mm

Atsakymas

h_req = 147,9 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 45,69 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/6000² = 45693 N = 45,69 kN

Atsakymas

P_cr = 45,69 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 62,57 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,57 mm

Atsakymas

d = 62,57 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 191,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials