Skaitiniai metodai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

  1. Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
  2. Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
  3. Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
  4. Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

  1. Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
  2. Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
  3. Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
  4. Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matricos ir determinantai

2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.Skaitiniai metodaiVidutinis
xy00,33330,666711,3331,6672

Simpsono formule su n = 6 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫02 √x·e−x dx. Pateikite S.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
2.Skaitiniai metodaiSunkus
00,20,40,60,51ty(0, 0,5)

Oilerio metodu su h = 0,2, kai y′ = t + y, y(0) = 0,5, įvertinkite y3 ≈ y(0,6).

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
kSn​12345678910S = ?

Raskite sumą S = Σk=1∞ 5/(k(k + 2)).

ak = 5/(k(k + 2))
S =
4.Sekos ir eilutėsSunkus

Raskite koeficientą c₂ prie (x − 2)² funkcijos f(x) = ln x Teiloro eilutėje taško a = 2 aplinkoje.

f(x) = ln xa = 2k = 2
c₂ =
5.Matricos ir determinantaiVidutinis
A =−2450−3−4−1−54

Raskite pateiktos 3×3 matricos A determinantą det A.

A = [−2 4 5; 0 −3 −4; −1 −5 4]
det A =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
A =−12−56

Raskite pateiktos matricos A didesnę tikrinę reikšmę λ.

A = [−1 2; −5 6]
λ =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
t (min)T (°C)19Ta​191 °C

460 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 21 °C dirbtuvėje. Po 19 min temperatūra yra 191 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.

T0 = 460 °CTa = 21 °CT(19) = 191 °C
k = min⁻¹
8.Diferencialinės lygtysSunkus
t (min)m (kg)110 minm = ?

Talpoje yra 500 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,25 kg druskos, įteka 4 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 110 min?

V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
m = kg

3Tirpalai

1.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,6378

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

ixᵢf(xᵢ)svoris000110,3333330,41369420,6666670,4192032310,367879441,3333330,304376251,6666670,2438374620,1913931

Mazgai ir reikšmės

h = 0,3333
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,41369 + 2·0,419203 + 4·0,367879 + 2·0,304376 + 4·0,243837 + 0,191393 = 5,740177

Simpsono formulė

S = (0,3333/3)·5,740177 = 0,6378

Atsakymas

S = 0,6378

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

2.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y3 = 0,992

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁000,50,50,610,20,60,80,7620,40,761,160,992

Oilerio žingsniai

y₁ = 0,5 + 0,2·(0,5) = 0,6
y₂ = 0,6 + 0,2·(0,8) = 0,76
y₃ = 0,76 + 0,2·(1,16) = 0,992
00,20,40,60,51ty

Grafikas

y3 = 0,992

Atsakymas

y3 = 0,992

Tiksli reikšmė yra y(0,6) = 1,133178.

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 3,75

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

5/(k(k + 2)) = (5/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Atšaukti

S = (5/2)·(1 + 1/2) = 3,75

Atsakymas

S = 3,75
4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: c₂ = −0,125

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinė f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Koeficientas

c₂ = f⁽²⁾(2)/2! = −1/(2²·2) = −0,125
c₂ = −0,125

Atsakymas

c₂ = −0,125
5.Matricos ir determinantai

Atsakymas: det A = 65

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Pirmosios eilutės 2×2 minorai

M₁₁ = −32, M₁₂ = −4, M₁₃ = −3

Skleidinys pagal eilutę

det A = (−2)·(−32) − 4·(−4) + 5·(−3) = 65

Atsakymas

det A = 65
6.Matricos ir determinantai

Atsakymas: λ = 4

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Charakteringoji lygtis

λ² − (5)λ + (4) = 0

Išspręskite

λ = (5 ± √(9))/2 → λ = 1, 4
λ = 4

Atsakymas

λ = 4
7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: k = 0,04993 min⁻¹

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Temperatūrų skirtumų santykis

e−19k = 170/439

Išspręskite k atžvilgiu

k = ln(439/170)/19 = 0,04993 min⁻¹

Atsakymas

k = 0,04993 min⁻¹
8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 73,15 kg

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Sudarykite lygtį

dm/dt = 4·0,25 − (4/500)·m = 1 − 0,008·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra ert/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 125 + (−125)·e−t/125

Įstatykite t

m(110) = 125 + (−125)·0,4148 = 73,15 kg

Atsakymas

m = 73,15 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods