Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Sekos ir eilutės
Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matricos ir determinantai
2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.Skaitiniai metodaiVidutinis
Simpsono formule su n = 6 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫01 1/(1 + x³) dx. Pateikite S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
2.Skaitiniai metodaiSunkus
Atlikite vieną klasikinio Rungės–Kutos metodo (RK4) žingsnį su h = 0,2, kai y′ = cos t − y, y(0) = −1. Raskite y₁ ≈ y(0,2).
y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2
y1 =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Laipsninė eilutė Σk=1∞ (x − 1)ᵏ/(k·2ᵏ) konverguoja intervale aplink x₀ = 1. Raskite to intervalo kairįjį galą x.
Tegu C = AB pateiktoms matricoms. Raskite elementą c12 (eilutė 1, stulpelis 2).
A = [0 6; 3 2]B = [3 4; 2 −1]
c12 =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
Išspręskite sistemą x − 3y = −1 ir 6x + 6y = 9. Raskite x.
x − 3y = −16x + 6y = 9
x =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
440 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 21 °C dirbtuvėje. Po 59 min temperatūra yra 61 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 21 °CT(59) = 61 °C
k = min⁻¹
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Talpoje yra 100 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,05 kg druskos, įteka 20 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 4 kg druskos?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Tirpalai
1.Skaitiniai metodai
Atsakymas: S = 0,8357
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Koeficientai
ck/ck+1 = 2·((k + 1)/k) → 2
Spindulys
R = 2
Intervalas
−1 < x < 3
x = −1
Atsakymas
x = −1
D’Alambero kriterijus nieko nesako apie du galinius taškus; juos reikia tikrinti atskirai.
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₂(−1.5) = 3,625
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₂(x) = 1 − x + 0,5x²
Įstatykite
P₂(−1,5) = 1 + 1,5 + 1,125 = 3,625
Atsakymas
P₂(−1,5) = 3,625
Tiksli reikšmė yra f(−1,5) = 4,481689; paklaida 0,856689 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Matricos ir determinantai
Atsakymas: c12 = −6
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Eilutė kart stulpelis
c12 = 0·4 + 6·(−1) = −6
Atsakymas
c12 = −6
6.Matricos ir determinantai
Atsakymas: x = 0,875
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Koeficientų matricos determinantas
det A = 1·6 − (−3)·6 = 24
Pakeiskite x stulpelį
det Aₓ = (−1)·6 − (−3)·9 = 21
x = 21/24 = 0,875
Atsakymas
x = 0,875
y = 0,625
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: k = 0,03981 min⁻¹
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Temperatūrų skirtumų santykis
e−59k = 40/419
Išspręskite k atžvilgiu
k = ln(419/40)/59 = 0,03981 min⁻¹
Atsakymas
k = 0,03981 min⁻¹
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 8,047 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.