Skaitiniai metodai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matricos ir determinantai

2×2 determinantas: det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Tikrinės reikšmės: det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė: x_i = det(A_i)/det(A)

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 6 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² √x·e^−x dx. Pateikite S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

2.Skaitiniai metodaiSunkus

Išspręskite y′ = t + y, y(0) = 0,5 Oilerio metodu su žingsniu h = 0,1 iki t = 0,3. Tikslus sprendinys yra y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Raskite globaliąją paklaidą |E| = |y(0,3) − y₃|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,1

|E| =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Taikykite d’Alambero kriterijų eilutei Σ_k=1^∞ k·5ᵏ/2ᵏ. Raskite L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k·5ᵏ/2ᵏ

L =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

Atpažinkite eilutę ir raskite jos sumą: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·1,2^2k/(2k)!.

a_k = (−1)ᵏ·1,2^2k/(2k)!

S =

5.Matricos ir determinantaiVidutinis

Raskite pateiktos 3×3 matricos A determinantą det A.

A = [4 1 −2; −3 −1 4; −5 3 1]

det A =

6.Matricos ir determinantaiSunkus

Raskite pateiktos matricos A didesnę tikrinę reikšmę λ.

A = [−2 2; 6 2]

λ =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

3 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 25 °C kambarį. Po 11 min temperatūra yra 15 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 7 °C?

T₀ = 3 °CT_a = 25 °CT(11) = 15 °CT = 7 °C

t = min

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 400 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,05 kg druskos, įteka 5 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 100 min?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3Tirpalai

1.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,6378

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,41369 + 2·0,419203 + 4·0,367879 + 2·0,304376 + 4·0,243837 + 0,191393 = 5,740177

Simpsono formulė

S = (0,3333/3)·5,740177 = 0,6378

Atsakymas

S = 0,6378

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

2.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,02829

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₃ = 0,6965

Tiksli reikšmė

y(0,3) = 0,724788

Globalioji paklaida

|E| = |0,724788 − 0,6965| = 0,02829

Grafikas

Atsakymas

|E| = 0,02829

Perpus sumažinus h, Oilerio metodo paklaida sumažėja maždaug perpus.

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: L = 2,5

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Gretimų narių santykis

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)·5/2 → 5/2

Išvada

L = 2,5 > 1

Atsakymas

L = 2,5

L > 1, todėl eilutė diverguoja.

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 0,3624

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Standartinės eilutės

Σ (−1)ᵏx^2k/(2k)! = cos x

Įstatykite

x = 1,2

S = cos 1,2 = 0,3624

Atsakymas

S = 0,3624

5.Matricos ir determinantai

Atsakymas: det A = −41

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Pirmosios eilutės 2×2 minorai

M₁₁ = −13, M₁₂ = 17, M₁₃ = −14

Skleidinys pagal eilutę

det A = 4·(−13) − 1·17 + (−2)·(−14) = −41

Atsakymas

det A = −41

6.Matricos ir determinantai

Atsakymas: λ = 4

Charakteringoji lygtis

λ² − (0)λ + (−16) = 0

Išspręskite

λ = (0 ± √(64))/2 → λ = −4, 4

λ = 4

Atsakymas

λ = 4

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 2,8 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(-22/-10)/11 = 0,07168 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(-22/(−18))/0,07168 = 2,8 min

Atsakymas

t = 2,8 min

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 14,27 kg

Sudarykite lygtį

dm/dt = 5·0,05 − (5/400)·m = 0,25 − 0,0125·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra e^rt/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/80

Įstatykite t

m(100) = 20 + (−20)·0,2865 = 14,27 kg

Atsakymas

m = 14,27 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods