Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Sekos ir eilutės
Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matricos ir determinantai
2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.Skaitiniai metodaiVidutinis
Simpsono formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫02 1/(1 + x³) dx. Pateikite S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Skaitiniai metodaiSunkus
Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,1, kai y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, įvertinkite y2 ≈ y(0,2).
Tegu C = AB pateiktoms matricoms. Raskite elementą c11 (eilutė 1, stulpelis 1).
A = [3 −2; −3 6]B = [−6 6; −5 5]
c11 =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
Raskite pateiktos matricos A didesnę tikrinę reikšmę λ.
A = [1 1; −2 4]
λ =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
3 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 25 °C kambarį. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,06 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 11 min.
T0 = 3 °CTa = 25 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 11 min
T = °C
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Talpoje yra 200 L vandens, kuriame ištirpinta 20 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,2 kg druskos, įteka 4 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 26 kg druskos?
V = 200 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Tirpalai
1.Skaitiniai metodai
Atsakymas: S = 1,037
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Mazgai ir reikšmės
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,5 + 0,111111 = 3,111111
Simpsono formulė
S = (1/3)·3,111111 = 1,037
Atsakymas
S = 1,037
Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Paprastosios trupmenos
2/(k(k + 4)) = (2/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Atšaukti
S = (2/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1,042
Atsakymas
S = 1,042
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₂(−1.5) = 0,5313
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₂(x) = 1 + 0,5x + 0,125x²
Įstatykite
P₂(−1,5) = 1 − 0,75 + 0,28125 = 0,5313
Atsakymas
P₂(−1,5) = 0,5313
Tiksli reikšmė yra f(−1,5) = 0,472367; paklaida −0,0588834 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Matricos ir determinantai
Atsakymas: c11 = −8
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Eilutė kart stulpelis
c11 = 3·(−6) + (−2)·(−5) = −8
Atsakymas
c11 = −8
6.Matricos ir determinantai
Atsakymas: λ = 3
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Charakteringoji lygtis
λ² − (5)λ + (6) = 0
Išspręskite
λ = (5 ± √(1))/2 → λ = 2, 3
λ = 3
Atsakymas
λ = 3
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: T = 13,63 °C
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo dėsnio sprendinys
T(t) = 25 + (−22)·e−0,06t
Įstatykite t
T(11) = 25 + (−22)·0,5169 = 13,63 °C
Atsakymas
T = 13,63 °C
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 17,83 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.