Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Sekos ir eilutės
Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matricos ir determinantai
2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.Skaitiniai metodaiVidutinis
Transporto priemonės greitis matuojamas kas 5 s (lentelė). Trapecijų formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 30 s.
h = 5 sn = 6
s = m
2.Skaitiniai metodaiSunkus
Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,2, kai y′ = t² + y², y(0) = 0,5, įvertinkite y3 ≈ y(0,6).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių konverguoja. Spustelėkite ją.
A: Σ (k + 4)/k²B: Σ 1/kC: Σ k/(k + 1)D: Σ (−1)ᵏ/k
1A: Σ (k + 4)/k²
2B: Σ 1/k
3C: Σ k/(k + 1)
4D: Σ (−1)ᵏ/k
4.Sekos ir eilutėsSunkus
Raskite koeficientą c₃ prie (x + 1)³ funkcijos f(x) = e2x Teiloro eilutėje taško a = −1 aplinkoje.
f(x) = e2xa = −1k = 3
c₃ =
5.Matricos ir determinantaiVidutinis
Tegu C = AB pateiktoms matricoms. Raskite elementą c21 (eilutė 2, stulpelis 1).
A = [1 −4; −6 0]B = [2 −5; 1 −6]
c21 =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
Išspręskite sistemą −5x − 5y = 9 ir −2x − 5y = −1. Raskite x.
−5x − 5y = 9−2x − 5y = −1
x =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
91 °C kavos puodelis paliekamas 22 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,1 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 12 min.
T0 = 91 °CTa = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 12 min
T = °C
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite y″ + 4y′ + 20y = 0, kai y(0) = 10 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(1); kampai radianais.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
3Tirpalai
1.Skaitiniai metodai
Atsakymas: s = 262,5 m
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ (k + 4)/k² → Dideliems k elgiasi kaip 1/k: diverguoja pagal palyginimą su harmonine eilute.
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Išvestinė f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 2³·e2x
Koeficientas
c₃ = 2³·e−2/3! = 0,1804
c₃ = 0,1804
Atsakymas
c₃ = 0,1804
5.Matricos ir determinantai
Atsakymas: c21 = −12
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Eilutė kart stulpelis
c21 = (−6)·2 + 0·1 = −12
Atsakymas
c21 = −12
6.Matricos ir determinantai
Atsakymas: x = −3,333
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Koeficientų matricos determinantas
det A = (−5)·(−5) − (−5)·(−2) = 15
Pakeiskite x stulpelį
det Aₓ = 9·(−5) − (−5)·(−1) = −50
x = −50/15 = −3,333
Atsakymas
x = −3,333
y = 1,533
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: T = 42,78 °C
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo dėsnio sprendinys
T(t) = 22 + 69·e−0,1t
Įstatykite t
T(12) = 22 + 69·0,3012 = 42,78 °C
Atsakymas
T = 42,78 °C
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = −1,397
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.