Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Sekos ir eilutės
Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matricos ir determinantai
2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.Skaitiniai metodaiVidutinis
Transporto priemonės greitis matuojamas kas 10 s (lentelė). Simpsono formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 60 s.
h = 10 sn = 6
s = m
2.Skaitiniai metodaiSunkus
Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,2, kai y′ = t² + y², y(0) = 0, įvertinkite y3 ≈ y(0,6).
y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,2
y3 =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių konverguoja. Spustelėkite ją.
A: Σ ln k / kB: Σ k/(k + 6)C: Σ (5/4)ᵏD: Σ (2/5)ᵏ
1A: Σ ln k / k
2B: Σ k/(k + 6)
3C: Σ (5/4)ᵏ
4D: Σ (2/5)ᵏ
4.Sekos ir eilutėsSunkus
Naudokite 3 laipsnio f(x) = sin x Maklorino polinomą f(−1,5) apytiksliai rasti. Pateikite P₃(−1,5).
f(x) = sin xn = 3x = −1,5
P₃(−1.5) =
5.Matricos ir determinantaiVidutinis
Tegu C = AB pateiktoms matricoms. Raskite elementą c12 (eilutė 1, stulpelis 2).
A = [3 2; 3 0]B = [−3 4; −1 −2]
c12 =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
Išspręskite sistemą −4x − 3y = 0 ir −x − 3y = 2. Raskite x.
−4x − 3y = 0−x − 3y = 2
x =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
Išspręskite y″ + 2y′ + y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 2. Raskite y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(0.5) =
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite Koši uždavinį y′ + 2y/x = 2x2, kai x > 0, su y(1) = −1. Raskite y(3).
y′ + 2y/x = 2x2y(1) = −1
y(3) =
3Tirpalai
1.Skaitiniai metodai
Atsakymas: s = 870 m
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ ln k / k → Didesnė už 1/k, kai k ≥ 3: diverguoja pagal palyginimą su harmonine eilute.
B: Σ k/(k + 6) → Nariai artėja prie 1, o ne prie 0: diverguoja pagal būtinąją sąlygą.
C: Σ (5/4)ᵏ → Geometrinė, kai r = 5/4 > 1: nariai auga, todėl diverguoja.
D: Σ (2/5)ᵏ → Geometrinė, kai r = 2/5, |r| < 1: konverguoja.
Atsakymas
D: Σ (2/5)ᵏ
Atsakymas
D: Σ (2/5)ᵏ
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₃(−1.5) = −0,9375
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₃(x) = x − 0,1667x³
Įstatykite
P₃(−1,5) = −1,5 + 0,5625 = −0,9375
Atsakymas
P₃(−1,5) = −0,9375
Tiksli reikšmė yra f(−1,5) = −0,997495; paklaida −0,059995 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Matricos ir determinantai
Atsakymas: c12 = 8
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Eilutė kart stulpelis
c12 = 3·4 + 2·(−2) = 8
Atsakymas
c12 = 8
6.Matricos ir determinantai
Atsakymas: x = 0,6667
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Koeficientų matricos determinantas
det A = (−4)·(−3) − (−3)·(−1) = 9
Pakeiskite x stulpelį
det Aₓ = 0·(−3) − (−3)·2 = 6
x = 6/9 = 0,6667
Atsakymas
x = 0,6667
y = −0,8889
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(0.5) = 1,516
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.
Dviguba šaknis
(r + 1)² = 0 → r = −1
Konstantos
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 1A → B = 2 + 1 = 3
Apskaičiuokite
y(0,5) = (1 + 3·0,5)·e−0,5 = 1,516
Atsakymas
y(0,5) = 1,516
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(3) = 10,64
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.