Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Sekos ir eilutės
Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matricos ir determinantai
2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.Skaitiniai metodaiVidutinis
Simpsono formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫01 1/(1 + x³) dx. Pateikite S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
2.Skaitiniai metodaiSunkus
Atlikite vieną klasikinio Rungės–Kutos metodo (RK4) žingsnį su h = 0,2, kai y′ = cos t − y, y(0) = −1. Raskite y₁ ≈ y(0,2).
y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2
y1 =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Raskite sumą S = Σk=1∞ 6/(k(k + 1)).
ak = 6/(k(k + 1))
S =
4.Sekos ir eilutėsSunkus
Raskite koeficientą c₃ prie (x − 4)³ funkcijos f(x) = ln x Teiloro eilutėje taško a = 4 aplinkoje.
f(x) = ln xa = 4k = 3
c₃ =
5.Matricos ir determinantaiVidutinis
Raskite pateiktos 3×3 matricos A determinantą det A.
A = [4 −2 3; −1 −1 −5; 0 0 3]
det A =
6.Matricos ir determinantaiSunkus
Raskite pateiktos matricos A didesnę tikrinę reikšmę λ.
A = [5 2; −5 −2]
λ =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
6 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 22 °C kambarį. Po 23 min temperatūra yra 20 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 12 °C?
T0 = 6 °CTa = 22 °CT(23) = 20 °CT = 12 °C
t = min
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Sistema tenkina y″ + 2y′ + 10y = 20, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite jos šuolinio atsako didžiausią vertę ymax.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Tirpalai
1.Skaitiniai metodai
Atsakymas: S = 0,8426
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Mazgai ir reikšmės
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,888889 + 0,5 = 5,055556
Simpsono formulė
S = (0,5/3)·5,055556 = 0,8426
Atsakymas
S = 0,8426
Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Paprastosios trupmenos
6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))
Atšaukti
S = 6·1 = 6
Atsakymas
S = 6
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: c₃ = 0,005208
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Išvestinė f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 2/x³
Koeficientas
c₃ = f⁽³⁾(4)/3! = 2/(4³·6) = 0,005208
c₃ = 0,005208
Atsakymas
c₃ = 0,005208
5.Matricos ir determinantai
Atsakymas: det A = −18
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Pirmosios eilutės 2×2 minorai
M₁₁ = −3, M₁₂ = −3, M₁₃ = 0
Skleidinys pagal eilutę
det A = 4·(−3) − (−2)·(−3) + 3·0 = −18
Atsakymas
det A = −18
6.Matricos ir determinantai
Atsakymas: λ = 3
Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.
Charakteringoji lygtis
λ² − (3)λ + (0) = 0
Išspręskite
λ = (3 ± √(9))/2 → λ = 0, 3
λ = 3
Atsakymas
λ = 3
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 5,199 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo konstanta
k = ln(-16/-2)/23 = 0,09041 min⁻¹
Laikas iki tikslinės temperatūros
t = ln(-16/(−10))/0,09041 = 5,199 min
Atsakymas
t = 5,199 min
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: ymax = 2,702
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.