Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 90 km/ht_r = 0,5 sa = −5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 11 s greitėja 1 m/s² pagreičiu, tada 23 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 11 st₂ = 23 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

4 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kaladėlė ant 30° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 1,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 65° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 28 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 35 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 10 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 35 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

370 m spindulio posūkis turi 18° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 370 mθ = 18°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

130 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 130 mθ = 25°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 18 m nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 25°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

11 kg sviedinys, horizontaliai judantis 38 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 6 kg skeveldra toliau juda pirmyn 96 m/s greičiu. Raskite 5 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 11 kgu = 38 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 96 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1900 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 7,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1800 kgd = 7,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 0,3 kgk = 380 N/mA = 4 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 180 N/m, atitraukiamas 11 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 1,9 kgk = 180 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Skaidraus bloko viduje šviesa visiškai atsispindi ties riba su terpe „etanolis“ (n = 1,36) esant bet kuriam kritimo kampui, didesniam nei 42°. Raskite bloko lūžio rodiklį n₁.

θ_c = 42°n₂ = 1,36

n₁ =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

633 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 500 linijų milimetrui. Raskite 1 eilės maksimumo kampą θ₁.

N = 500 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 75 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 25·0,5 = 12,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·5) = 62,5 m

Iš viso

d = 12,5 + 62,5 = 75 m

Atsakymas

d = 75 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 337,7 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1·11 = 11 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1·11² = 60,5 m

s₂ = 11·23 = 253 m

s₃ = 11²/(2·2,5) = 24,2 m

Visas atstumas

s = 60,5 + 253 + 24,2 = 337,7 m

Atsakymas

s = 337,7 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,631 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Atsakymas

a = 3,631 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,4305 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 14,71 N

m₁·g·sin θ = 9,81 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,398 N

Sistemos pagreitis

a = (14,71 − 9,81 − 3,398)/3,5 = 0,4305 m/s²

Atsakymas

a = 0,4305 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 61,22 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 65° = 11,83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 65° = 25,38 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·25,38/9,81 = 5,174 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,83·5,174 = 61,22 m

Atsakymas

x = 61,22 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 36,48 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 35·cos 30° = 30,31 m/s

v_y0 = 35·sin 30° = 17,5 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(17,5² + 2·9,81·10) = 22,42 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 22,42/30,31 → α = 36,48°

Atsakymas

α = 36,48°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 34,34 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(370·9,81·tan 18°) = 34,34 m/s

Atsakymas

v = 34,34 m/s

(123,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 33,71 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(130·9,81·0,6945/0,7795) = 33,71 m/s

Atsakymas

v_max = 33,71 m/s

(121,3 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 60,01 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,9063 = 22,23 N

F = μN = 0,15·22,23 = 3,334 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 3,334·18 = 60,01 J

Atsakymas

W_f = 60,01 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 12,99 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,3·4,5) = 21,09 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 21,09 → x = √(2·21,09/2500) = 0,1299 m = 12,99 cm

Atsakymas

x = 12,99 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −31,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 11·38 = 418 kg·m/s

Judesio kiekis po

418 = 6·96 + 5·v′₂

v′₂ = (418 − 576)/5 = −31,6 m/s

Atsakymas

v′₂ = −31,6 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 21,13 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·7,5) = 10,85 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3700·10,85/1900 = 21,13 m/s

Atsakymas

v₁ = 21,13 m/s

(76,06 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,9416 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/0,3) = 35,59 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 35,59·√(0,04² − 0,03²) = 0,9416 m/s

Atsakymas

v = 0,9416 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 1,071 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(180/1,9) = 9,733 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,11·9,733 = 1,071 m/s

Atsakymas

v_max = 1,071 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: n₁ = 2,032

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Bloko lūžio rodiklis

n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,6691 = 2,032

Atsakymas

n₁ = 2,032

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 18,45 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,3165

θ = 18,45°

Atsakymas

θ₁ = 18,45°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics