Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,6 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 100 km/ht_r = 0,6 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 12 s greitėja 1,5 m/s² pagreičiu, tada 26 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 26 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

4 kg ir 0,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 4 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo 35 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,5 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 3,5 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,1 kg rutuliukas ant lengvo 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 11,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,1 kgr = 0,8 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 200 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 10 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 200 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2 kgh = 1,5 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

6 kg sviedinys, horizontaliai judantis 8 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 5 kg skeveldra toliau juda pirmyn 59 m/s greičiu. Raskite 1 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 6 kgu = 8 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1200 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 6,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1600 kgd = 6,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2,9 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 490 N/m, atitraukiamas 17 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 0,6 kgk = 490 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 12 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 5 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 12 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 50 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 8 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 20 cm. Daiktas yra 25 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 8 cmf₂ = 20 cms = 50 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 76,02 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 27,78·0,6 = 16,67 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·6,5) = 59,35 m

Iš viso

d = 16,67 + 59,35 = 76,02 m

Atsakymas

d = 76,02 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 42,5 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1,5·12 = 18 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 18/4 = 4,5 s

Bendra trukmė

t = 12 + 26 + 4,5 = 42,5 s

Atsakymas

t = 42,5 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 8,72 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (4 − 0,5)·9,81/(4 + 0,5) = 7,63 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 0,5·(9,81 + 7,63) = 8,72 N

Atsakymas

T = 8,72 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 42,04 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 19,62)/14 = 2,803 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2,803 + 19,62 = 42,04 N

Atsakymas

T = 42,04 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 1,637 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8,03 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·8,03/9,81 = 1,637 s

Atsakymas

t = 1,637 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,82 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 35 + 16,38·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,38 + √(268,4 + 686,7))/9,81 = 4,82 s

Atsakymas

t = 4,82 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 20,64 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,5)) = 2,161 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 20,64 rpm

Atsakymas

n = 20,64 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 127,9 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·0,8 = 100,9 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·100,9/0,8 − 1,1·9,81 = 127,9 N

Atsakymas

T_top = 127,9 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 1,019 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·200·0,1² = 1 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 1/0,981 = 1,019 m

Atsakymas

h = 1,019 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 10,15 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(1,5 − 0,1·4,5) = 20,6 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 20,6 → x = √(2·20,6/4000) = 0,1015 m = 10,15 cm

Atsakymas

x = 10,15 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −247 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 6·8 = 48 kg·m/s

Judesio kiekis po

48 = 5·59 + 1·v′₂

v′₂ = (48 − 295)/1 = −247 m/s

Atsakymas

v′₂ = −247 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 23,57 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·6,5) = 10,1 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·10,1/1200 = 23,57 m/s

Atsakymas

v₁ = 23,57 m/s

(84,85 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,416 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Atsakymas

T = 3,416 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 138,8 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(490/0,6) = 28,58 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,17·28,58² = 138,8 m/s²

Atsakymas

a_max = 138,8 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = 8,571 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/12

d_i = 8,571 cm

Spindulių diagrama

tikrasis, kitoje lęšio pusėje

Atsakymas

d_i = 8,571 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 41,94 cm

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/8 − 1/25 → d_i1 = 11,76 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 50 − 11,76 = 38,24 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/20 − 1/38,24 → d_i2 = 41,94 cm

Atsakymas

d_i2 = 41,94 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics