Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 200 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1700 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 11 s greitėja 2,5 m/s² pagreičiu, tada 8 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 8 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

35 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 30° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 35 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 40 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 48 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 40 m/sθ = 40°x = 48 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 29 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 100 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 100 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,5 kg rutuliukas ant lengvo 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,5 kgr = 1,2 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1800 kg automobilis važiuoja į 4° šlaitą pastoviu 54 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 700 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1800 kgθ = 4°F_r = 700 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 5 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 4 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 23 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 4 kgh = 23 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,4 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,4 kgv_in = 16 m/sv_out = 4 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,6 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 1,6 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,6 mT = 1,6 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 390 N/m, atitraukiamas 12 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,3 kgk = 390 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

1200 Hz dažnio šaltinis, judantis 30 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 10 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

589 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,12 mm pločio vieną plyšį. Raskite tamsaus ruožo, kurio numeris 1, kampą θ₁ nuo tiesios krypties.

λ = 589 nma = 0,12 mmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 0,9078 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1700) = 0,9078 m/s²

Atsakymas

a = 0,9078 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: s = 560,3 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2,5·11 = 27,5 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2,5·11² = 151,3 m

s₂ = 27,5·8 = 220 m

s₃ = 27,5²/(2·2) = 189,1 m

Visas atstumas

s = 151,3 + 220 + 189,1 = 560,3 m

Atsakymas

s = 560,3 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 246 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 171,7 + 74,34 = 246 N

Atsakymas

F = 246 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 15,94 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,357)/5 = 3,433 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·3,433 + 7,357 = 15,94 N

Atsakymas

T = 15,94 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 28,24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 40·cos 40° = 30,64 m/s

t = x/v_x = 48/30,64 = 1,566 s

Aukštis tuo momentu

y = 25,71·1,566 − ½·9,81·1,566² = 28,24 m

Atsakymas

y = 28,24 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 78,76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 29·sin 55° = 23,76 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 23,76²/(2·9,81) = 28,76 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 28,76 = 78,76 m

Atsakymas

H = 78,76 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 26,2 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·100) = 26,2 m/s

Atsakymas

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 2,142 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 8² − 4·9,81·1,2 = 16,91 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,5·16,91/1,2 − 0,5·9,81 = 2,142 N

Atsakymas

T_top = 2,142 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 28,98 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 4° = 1232 N

F = 1232 + 700 = 1932 N

Galia

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1932·15 = 28976 W = 28,98 kW

Atsakymas

P = 28,98 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 9,265 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,15·5) = 17,17 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 17,17 → x = √(2·17,17/4000) = 0,09265 m = 9,265 cm

Atsakymas

x = 9,265 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 427 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,23) = 2,124 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 4)·2,124/0,02 = 427 m/s

Atsakymas

v = 427 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 800 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,4·(4 + 16) = 8 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 8/0,01 = 800 N

Atsakymas

F_avg = 800 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 24,67 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/1,6² = 24,67 m/s²

Atsakymas

g = 24,67 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 14,18 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(390/3,3) = 10,87 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,12·10,87² = 14,18 m/s²

Atsakymas

a_max = 14,18 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 1071 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 10)/(343 + 30)

f′ = 1071 Hz

Atsakymas

f′ = 1071 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 0,2812 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Tamsaus ruožo sąlyga

sin θ = mλ/a = 0,004908

θ = 0,2812°

Atsakymas

θ₁ = 0,2812°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics