Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 260 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1000 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 15 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 5,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 5,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 69 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 55°x = 69 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 17 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 40 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 17 m/sθ = 70°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,5 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 3,5 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Raskite jo greitį v, nuslydus 4 m nuokalne.

θ = 45°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 25° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 55 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 5 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 25°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 2 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 1 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 17 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 5 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,45 kgv_in = 17 m/sv_out = 5 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 480 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 4 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,3 kgk = 480 N/mA = 14 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 90 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 8 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 90 N/mA = 8 cmx = 5 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,65 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 3-osios harmonikos dažnį f₃.

v = 343 m/sn = 3L = 0,65 m

f₃ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 40 cm atstumu prieš veidrodį (įgaubtas), kurio kreivumo spindulys 30 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 40 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,608 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·1000) = 2,608 m/s²

Atsakymas

a = 2,608 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 31,83 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Aukštis virš žemės

h_max = 30 + 1,835 = 31,83 m

Atsakymas

h_max = 31,83 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,803 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

Atsakymas

a = 4,803 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 3,004 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·5,035) = 3,004 m

Atsakymas

d = 3,004 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 29,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 55° = 18,35 m/s

t = x/v_x = 69/18,35 = 3,759 s

Aukštis tuo momentu

y = 26,21·3,759 − ½·9,81·3,759² = 29,22 m

Atsakymas

y = 29,22 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 53,01 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 17·sin 70° = 15,97 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 15,97²/(2·9,81) = 13,01 m

Aukštis virš žemės

H = 40 + 13,01 = 53,01 m

Atsakymas

H = 53,01 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,647 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·3,5)) = 2,647 rad/s

Atsakymas

ω = 2,647 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,132 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

Atsakymas

v_min = 3,132 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,451 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·4·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 6,451 m/s

Atsakymas

v = 6,451 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,805 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 20,73 N

μ·mg·cos θ = 11,11 N

Darbas ir energija

½mv² = (55 − 31,84)·5 = 115,8 J

v = √(2·115,8/5) = 6,805 m/s

Atsakymas

v = 6,805 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 0,8889 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 3,5)/(1 + 3,5)·2 = −1,111 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3,5)·2 = 0,8889 m/s

Atsakymas

v′₂ = 0,8889 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 9,9 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(5 + 17) = 9,9 N·s

Atsakymas

J = 9,9 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 1,618 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(480/3,3) = 12,06 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 12,06·√(0,14² − 0,04²) = 1,618 m/s

Atsakymas

v = 1,618 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,1125 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·90·0,08² = 0,288 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·90·0,05² = 0,1125 J

Atsakymas

U = 0,1125 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₃ = 791,5 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,65/3 = 0,4333 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,4333 = 791,5 Hz

Atsakymas

f₃ = 791,5 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = 24 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Židinio nuotolis

f = R/2 = 15 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/40

d_i = 24 cm

Spindulių diagrama

tikrasis vaizdas prieš veidrodį

Atsakymas

d_i = 24 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics